{"id":59755,"date":"2023-01-06T04:20:10","date_gmt":"2023-01-06T04:20:10","guid":{"rendered":"https:\/\/euler.euclid.int\/acerca-de-la-identidad-de-euler\/"},"modified":"2023-01-06T04:20:10","modified_gmt":"2023-01-06T04:20:10","slug":"acerca-de-la-identidad-de-euler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/euler.euclid.int\/es\/acerca-de-la-identidad-de-euler\/","title":{"rendered":"Acerca de la identidad de Euler"},"content":{"rendered":"<p>La identidad de Euler es frecuentemente aclamada como la f\u00f3rmula m\u00e1s bella de las matem\u00e1ticas. Las personas la portan en camisetas y se la tat\u00faan en el cuerpo. \u00bfPor qu\u00e9?  <\/p>\n<p><iframe title=\"Euler&#039;s Identity (Complex Numbers)\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/sKtloBAuP74?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>La identidad se expresa como<\/p>\n<table id=\"a0000000002\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/17eab3c768113bf642698c4da7edf422\/images\/img-0001.png\" alt=\"[ e^{ipi }+1=0, ]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"rightimage\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/issue45\/features\/sangwin\/Euler_portraitcolour.jpg\" alt=\"Leonhard Euler, 1707-1783. Retrato de Johann Georg Brucker.\" width=\"250\" height=\"313\">Leonhard Euler, 1707-1783. Retrato de Johann Georg Brucker. <\/p>\n<\/div>\n<p>donde <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/8ef555e22dd3dc0de3bd377f42bfe5d6\/images\/img-0001.png\" alt=\"$e= 2.7182818284... $\"> es la base del logaritmo natural, <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/8ef555e22dd3dc0de3bd377f42bfe5d6\/images\/img-0002.png\" alt=\"$pi =3.1415926535...$\"> es la raz\u00f3n entre la circunferencia y el di\u00e1metro de un c\u00edrculo, y <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/8ef555e22dd3dc0de3bd377f42bfe5d6\/images\/img-0003.png\" alt=\"$i =sqrt&lt;wpml_curved wpml_value='-1'&gt;&lt;\/wpml_curved&gt;$\">. Estas tres constantes son extremadamente importantes en matem\u00e1ticas, y dado que la identidad tambi\u00e9n involucra <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/8ef555e22dd3dc0de3bd377f42bfe5d6\/images\/img-0004.png\" alt=\"$0$\"> y <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/8ef555e22dd3dc0de3bd377f42bfe5d6\/images\/img-0005.png\" alt=\"$1$\">, tenemos una f\u00f3rmula que conecta cinco de los n\u00fameros m\u00e1s importantes en matem\u00e1ticas utilizando cuatro de las operaciones y relaciones matem\u00e1ticas m\u00e1s importantes: adici\u00f3n, multiplicaci\u00f3n, exponenciaci\u00f3n e igualdad. He aqu\u00ed el motivo por el cual los matem\u00e1ticos aprecian tanto la identidad de Euler.  <\/p>\n<p>Pero, \u00bfde d\u00f3nde proviene y qu\u00e9 significa? Como mencionamos anteriormente, <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0001.png\" alt=\"$i =sqrt&lt;wpml_curved wpml_value='-1'&gt;&lt;\/wpml_curved&gt;$\">. Esto puede parecer sorprendente porque los n\u00fameros negativos no deber\u00edan tener ra\u00edces cuadradas. Sin embargo, si simplemente decretamos que <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0002.png\" alt=\"$-1$\"> s\u00ed tiene una ra\u00edz cuadrada y la denominamos <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0003.png\" alt=\"$i$\">, entonces podemos construir una clase completamente nueva de n\u00fameros, llamados <em>n\u00fameros complejos<\/em>. Los n\u00fameros complejos tienen la forma      <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0004.png\" alt=\"$x+iy,$\">  donde  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0005.png\" alt=\"$x$\">  y  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0006.png\" alt=\"$y$\">  son n\u00fameros reales ordinarios (para el n\u00famero complejo  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0003.png\" alt=\"$i$\">  tenemos  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0007.png\" alt=\"$x=0$\">  y  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3be7c11382a410ca39080c3524be3014\/images\/img-0008.png\" alt=\"$y=1$\">). V\u00e9ase <a href=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/maths-minute-complex-numbers\">aqu\u00ed<\/a> para una breve introducci\u00f3n a los n\u00fameros complejos y c\u00f3mo calcular con ellos. N\u00f3tese que un n\u00famero real tambi\u00e9n puede ser considerado como un n\u00famero complejo. El n\u00famero <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/649a99b95aeefbb3691de877b79746b1\/images\/img-0001.png\" alt=\"$-1$\">, por ejemplo, es un n\u00famero complejo con <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/649a99b95aeefbb3691de877b79746b1\/images\/img-0002.png\" alt=\"$x=-1$\"> y <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/649a99b95aeefbb3691de877b79746b1\/images\/img-0003.png\" alt=\"$y=0$\">.  <\/p>\n<p>As\u00ed como un n\u00famero real est\u00e1 representado por un punto en una recta num\u00e9rica, un n\u00famero complejo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/9254d09b03f608eae975565ddde98879\/images\/img-0001.png\" alt=\"$z$\"> est\u00e1 representado por un punto en el plano. Al n\u00famero complejo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/9254d09b03f608eae975565ddde98879\/images\/img-0002.png\" alt=\"$z=x+iy$\"> le asociamos el punto con coordenadas <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/9254d09b03f608eae975565ddde98879\/images\/img-0003.png\" alt=\"$(x,y)$\">. <\/p>\n<div class=\"centreimage\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/sites\/plus.maths.org\/files\/articles\/2017\/Euler\/cartesian.png\" alt=\"Coordenadas cartesianas\" width=\"400\" height=\"332\">&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p>En esta descripci\u00f3n utilizamos coordenadas cartesianas: estas describen la ubicaci\u00f3n de un punto indic\u00e1ndonos cu\u00e1nto avanzar en la direcci\u00f3n horizontal y cu\u00e1nto en la direcci\u00f3n vertical. Sin embargo, en ocasiones resulta m\u00e1s conveniente describir la ubicaci\u00f3n de un punto en t\u00e9rminos del vector que parte del punto de intersecci\u00f3n de los dos ejes, como se muestra a continuaci\u00f3n. <\/p>\n<div class=\"centreimage\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/sites\/plus.maths.org\/files\/articles\/2017\/Euler\/polar.png\" alt=\"Coordenadas polares\" width=\"400\" height=\"360\">&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p>Para definir ese vector se necesita su longitud <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0001.png\" alt=\"$r$\"> y el \u00e1ngulo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0002.png\" alt=\"$\theta $\"> que forma con el eje <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0003.png\" alt=\"$x$\"> positivo (medido en sentido antihorario). Estas son las <em>coordenadas polares<\/em> de nuestro punto. La trigonometr\u00eda b\u00e1sica (v\u00e9ase el diagrama a continuaci\u00f3n) nos indica que si un punto tiene coordenadas cartesianas <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0004.png\" alt=\"$(x,y)$\"> y coordenadas polares <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0005.png\" alt=\"$(r,\theta )$\">, entonces  <\/p>\n<table id=\"a0000000002\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0006.png\" alt=\"[ x=r cos {(\theta )} ]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>y<\/p>\n<table id=\"a0000000003\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/37f3a5d111741224a911781164a3c4b7\/images\/img-0007.png\" alt=\"[ y=r sin {(\theta )}. ]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"centreimage\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/sites\/plus.maths.org\/files\/articles\/2017\/Euler\/trig.png\" alt=\"trigonometr\u00eda\" width=\"400\" height=\"353\">&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p>Por lo tanto, el n\u00famero complejo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0001.png\" alt=\"$z$\"> representado por nuestro punto, <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0002.png\" alt=\"$x+iy$\">, tambi\u00e9n puede escribirse como<\/p>\n<table id=\"a0000000002\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0003.png\" alt=\"[ z= r (cos {(\theta )}+isin {(\theta )}). ]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Aqu\u00ed viene el punto crucial. Resulta que para n\u00fameros reales <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0004.png\" alt=\"$r$\"> y   <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0005.png\" alt=\"$\theta $\"><\/p>\n<table id=\"a0000000003\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/c9570eacdeb0833cf294aca44d62bf7e\/images\/img-0006.png\" alt=\"[ r(cos {(\theta )} + i sin {(\theta )}) = re^{i\theta }. ]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Esto puede demostrarse utilizando <em>series de potencias<\/em>, v\u00e9ase <a href=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/beauty-mathematics\">aqu\u00ed<\/a> para obtener m\u00e1s informaci\u00f3n. Es un hecho hermoso que la funci\u00f3n exponencial y las dos funciones trigonom\u00e9tricas seno y coseno est\u00e9n vinculadas de esta manera. Y significa que cualquier n\u00famero complejo    <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0001.png\" alt=\"$z$\">  puede escribirse como  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0002.png\" alt=\"$re^{i\theta }$\">  donde  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0003.png\" alt=\"$r$\">  es la longitud de la l\u00ednea que conecta el punto en el plano asociado a  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0001.png\" alt=\"$z$\">  al punto de intersecci\u00f3n de los ejes, y  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0004.png\" alt=\"$\\theta $\">  es el \u00e1ngulo que forma dicha l\u00ednea con el eje  <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/3c05d0df825cecff17f7016919c5850a\/images\/img-0005.png\" alt=\"$x$\"> positivo (medido en sentido antihorario).<\/p>\n<p>Esto ahora hace que la identidad de Euler sea cristalina. El n\u00famero complejo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b3e85a885255cb250d2331bfdf746ac0\/images\/img-0001.png\" alt=\"$e^{i\\pi } = 1 \\times e^{i\\pi }$\"> representa el punto en el plano a una distancia <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b3e85a885255cb250d2331bfdf746ac0\/images\/img-0002.png\" alt=\"$1$\"> del punto de intersecci\u00f3n de los ejes con un \u00e1ngulo asociado de <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b3e85a885255cb250d2331bfdf746ac0\/images\/img-0003.png\" alt=\"$\\pi $\">. Ese es el punto con coordenadas cartesianas <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b3e85a885255cb250d2331bfdf746ac0\/images\/img-0004.png\" alt=\"$(-1,0)$\"> que representa el n\u00famero complejo <img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b3e85a885255cb250d2331bfdf746ac0\/images\/img-0005.png\" alt=\"$-1$\">.  <\/p>\n<div class=\"centreimage\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/content\/sites\/plus.maths.org\/files\/articles\/2017\/Euler\/Euler.png\" alt=\"Identidad de Euler\" width=\"400\" height=\"328\">&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p>Reuniendo todos estos elementos, observamos que<\/p>\n<table id=\"a0000000002\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b7b172cee37d9c06da34d769912d2d57\/images\/img-0001.png\" alt=\"\\[ e^{i\\pi } = -1, \\]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>lo cual significa que<\/p>\n<table id=\"a0000000003\" class=\"equation\" width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"7\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><img decoding=\"async\" class=\"math gen\" src=\"https:\/\/plus.maths.org\/MI\/b7b172cee37d9c06da34d769912d2d57\/images\/img-0002.png\" alt=\"\\[ e^{i\\pi }+1 = 0. \\]\"><\/td>\n<td><\/td>\n<td class=\"eqnnum\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Y esa es la identidad de Euler.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La identidad de Euler es frecuentemente aclamada como la f\u00f3rmula m\u00e1s bella de las matem\u00e1ticas. Las personas la portan en camisetas y se la tat\u00faan en el cuerpo. \u00bfPor qu\u00e9? La identidad se expresa como Leonhard Euler, 1707-1783. 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