{"id":59833,"date":"2023-01-06T04:16:48","date_gmt":"2023-01-06T04:16:48","guid":{"rendered":"https:\/\/euler.euclid.int\/acerca-de-la-formula-de-euler\/"},"modified":"2023-01-06T04:16:48","modified_gmt":"2023-01-06T04:16:48","slug":"acerca-de-la-formula-de-euler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/euler.euclid.int\/es\/acerca-de-la-formula-de-euler\/","title":{"rendered":"Acerca de la f\u00f3rmula de Euler"},"content":{"rendered":"<p>En el \u00e1mbito de los n\u00fameros complejos, al integrar expresiones trigonom\u00e9tricas, es probable que encontremos la denominada <strong>f\u00f3rmula de Euler<\/strong>.<\/p>\n<p>Nombrada en honor al legendario matem\u00e1tico <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Leonhard_Euler\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Leonhard Euler<\/a>, esta poderosa ecuaci\u00f3n merece un examen m\u00e1s detallado \u2014 con el fin de que podamos utilizarla en todo su potencial.<\/p>\n<p><iframe title=\"Euler&#039;s formula with introductory group theory\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mvmuCPvRoWQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>Examinaremos c\u00f3mo la f\u00f3rmula de Euler nos permite expresar n\u00fameros complejos como <strong>exponenciales<\/strong>, y exploraremos las diferentes formas en que puede establecerse con relativa facilidad.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, consideraremos tambi\u00e9n sus diversas <strong>aplicaciones<\/strong>, tales como el caso particular de la identidad de Euler, la forma exponencial de los n\u00fameros complejos, definiciones alternativas de funciones clave y demostraciones alternativas del <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/De_Moivre%27s_formula\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">teorema de De Moivre<\/a> y las <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/List_of_trigonometric_identities#Angle_sum_and_difference_identities\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">identidades trigonom\u00e9tricas aditivas<\/a>.<\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Nota<\/p>\n<p>Esta f\u00f3rmula de Euler debe distinguirse de otras f\u00f3rmulas de Euler, como la relativa a los  <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Euler_characteristic#Polyhedra\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>poliedros convexos<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-container-1 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Portada del libro electr\u00f3nico de la Gu\u00eda de la F\u00f3rmula de Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"Portada del libro electr\u00f3nico 'La Gu\u00eda Completa de la F\u00f3rmula de Euler'\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>\u00bfPrefiere la versi\u00f3n en PDF?<\/p>\n<p>Obtenga nuestra gu\u00eda completa de 22 p\u00e1ginas sobre la f\u00f3rmula de Euler \u2014 en formato <strong>PDF<\/strong> imprimible y sin conexi\u00f3n.<\/p>\n<div class=\"wp-block-button aligncenter\"><a class=\"wp-block-button__link has-text-color has-background\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\">S\u00ed. Eso ser\u00eda excelente. <\/a><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><img decoding=\"async\" title=\"Diagrama de la f\u00f3rmula de Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Euler-formula-diagram.png?x30583\" alt=\"Diagrama que ilustra la f\u00f3rmula de Euler para n\u00fameros complejos\" width=\"900\" height=\"572\"><\/p>\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_33_2 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\">\u00cdndice<\/p>\n<p><span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\"><label for=\"item\" aria-label=\"Table of Content\"><i class=\"ez-toc-glyphicon ez-toc-icon-toggle\"><\/i><\/label><input id=\"item\" type=\"checkbox\"><\/a><\/span><\/div>\n<nav>\n<ul class=\"ez-toc-list ez-toc-list-level-1\">\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" title=\"La F\u00f3rmula de Euler Explicada: Introducci\u00f3n, Interpretaci\u00f3n y Ejemplos\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\">La F\u00f3rmula de Euler Explicada: Introducci\u00f3n, Interpretaci\u00f3n y Ejemplos<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" title=\"Derivaciones\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivations\">Derivaciones<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" title=\"Derivaci\u00f3n 1: Series de Potencias\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">Derivaci\u00f3n 1: Series de Potencias<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" title=\"Derivaci\u00f3n 2: C\u00e1lculo\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_2_Calculus\">Derivaci\u00f3n 2: C\u00e1lculo<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" title=\"Derivaci\u00f3n 3: Coordenadas Polares\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_3_Polar_Coordinates\">Derivaci\u00f3n 3: Coordenadas Polares<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" title=\"Aplicaciones\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Applications\">Aplicaciones<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" title=\"Identidad de Euler\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Identity\">Identidad de Euler<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" title=\"N\u00fameros Complejos en Forma Exponencial\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Numbers_in_Exponential_Form\">N\u00fameros Complejos en Forma Exponencial<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" title=\"Definiciones Alternativas de Funciones Clave\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Definitions_of_Key_Functions\">Definiciones Alternativas de Funciones Clave<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-4\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" title=\"Funci\u00f3n Exponencial Compleja\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Exponential_Function\">Funci\u00f3n Exponencial Compleja<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-11\" title=\"Funciones Trigonom\u00e9tricas\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Trigonometric_Functions\">Funciones Trigonom\u00e9tricas<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-12\" title=\"Funciones Hiperb\u00f3licas\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Hyperbolic_Functions\">Funciones Hiperb\u00f3licas<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-13\" title=\"Logaritmo Complejo y Exponencial Compleja General\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\">Logaritmo Complejo y Exponencial Compleja General<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-14\" title=\"Demostraciones Alternativas del Teorema de De Moivre e Identidades Trigonom\u00e9tricas Aditivas\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\">Demostraciones Alternativas del Teorema de De Moivre e Identidades Trigonom\u00e9tricas Aditivas<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-15\" title=\"Conclusi\u00f3n\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Conclusion\">Conclusi\u00f3n<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-16\" title=\"Fuentes\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Sources\">Fuentes<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/nav>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>La F\u00f3rmula de Euler Explicada: Introducci\u00f3n, Interpretaci\u00f3n y Ejemplos<\/h2>\n<p>Entonces, \u00bfqu\u00e9 es exactamente la <strong>f\u00f3rmula de Euler<\/strong>? En resumen, es el teorema que establece que <\/p>\n<blockquote><p>eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/p><\/blockquote>\n<p>donde:<\/p>\n<ul>\n<li>x es un <strong>n\u00famero real<\/strong>.<\/li>\n<li>e es la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>base del logaritmo natural<\/strong><\/a>.<\/li>\n<li>i es la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>unidad imaginaria<\/strong><\/a> (es decir, la ra\u00edz cuadrada de \u22121).<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Nota<\/p>\n<p>En esta f\u00f3rmula, el lado derecho a veces se abrevia como cis\u2061x, aunque generalmente se prefiere la expresi\u00f3n eix sobre la notaci\u00f3n cis.<\/p>\n<\/div>\n<p>La f\u00f3rmula de Euler establece la relaci\u00f3n fundamental entre las <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/geometry-trigonometry-symbols\/#Trigonometric_Functions\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>funciones trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/a> y las <strong>funciones exponenciales<\/strong>. Geom\u00e9tricamente, puede considerarse como una forma de unir dos representaciones del mismo n\u00famero complejo unitario en el plano complejo. <\/p>\n<p>Examinemos algunos de los <strong>valores clave<\/strong> de la f\u00f3rmula de Euler, y veamos c\u00f3mo se corresponden con puntos en el c\u00edrculo trigonom\u00e9trico\/unitario:<\/p>\n<ul>\n<li>Para x=0, tenemos e0=cos\u20610+isin\u20610, lo que da como resultado 1=1. Hasta ahora, todo bien: sabemos que un \u00e1ngulo de 0 en el c\u00edrculo trigonom\u00e9trico es 1 en el eje real, y esto es lo que obtenemos aqu\u00ed. <\/li>\n<li>Para x=1, tenemos ei=cos\u20611+isin\u20611. Este resultado sugiere que ei es precisamente el punto en el c\u00edrculo unitario cuyo \u00e1ngulo es <strong>1 radi\u00e1n<\/strong>. <\/li>\n<li>Para x=\u03c02, tenemos ei\u03c02=cos\u2061\u03c02+isin\u2061\u03c02=i. Este resultado es \u00fatil en algunos c\u00e1lculos relacionados con la f\u00edsica. <\/li>\n<li>Para x=\u03c0, tenemos ei\u03c0=cos\u2061\u03c0+isin\u2061\u03c0, lo que significa que ei\u03c0=\u22121. Este resultado es equivalente a la famosa <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Euler%E2%80%99s_Identity\"><strong>identidad de Euler<\/strong><\/a>. <\/li>\n<li>Para x=2\u03c0, tenemos ei(2\u03c0)=cos\u20612\u03c0+isin\u20612\u03c0, lo que significa que ei(2\u03c0)=1, igual que con x=0.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Una clave para comprender la f\u00f3rmula de Euler radica en reescribir la f\u00f3rmula de la siguiente manera:(ei)x=cos\u2061x+isin\u2061xdonde:<\/p>\n<ul>\n<li>La expresi\u00f3n de la derecha puede considerarse como el <strong>n\u00famero complejo unitario<\/strong> con \u00e1ngulo x.<\/li>\n<li>La expresi\u00f3n de la izquierda puede considerarse como el <strong>n\u00famero complejo unitario de 1 radi\u00e1n<\/strong> elevado a x.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Y dado que elevar un n\u00famero complejo unitario a una potencia puede considerarse como <strong>multiplicaciones repetidas<\/strong> (es decir, sumar \u00e1ngulos en este caso), la f\u00f3rmula de Euler puede interpretarse como dos formas diferentes de recorrer el c\u00edrculo unitario para llegar al mismo punto.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/v1nugr08y5?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h2><span id=\"Derivations\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Derivaciones<\/h2>\n<p>La f\u00f3rmula de Euler puede establecerse al menos de tres maneras. La primera derivaci\u00f3n se basa en <strong>series de potencias<\/strong>, donde las funciones exponencial, seno y coseno se expanden como series de potencias para concluir que la f\u00f3rmula efectivamente se cumple. <\/p>\n<p>La segunda derivaci\u00f3n de la f\u00f3rmula de Euler se basa en el <strong>c\u00e1lculo<\/strong>, en el que ambos lados de la ecuaci\u00f3n se tratan como funciones y se diferencian en consecuencia. Esto conduce a la identificaci\u00f3n de una propiedad com\u00fan, que puede ser explotada para demostrar que ambas funciones son efectivamente iguales. <\/p>\n<p>Otra derivaci\u00f3n m\u00e1s de la f\u00f3rmula de Euler implica el uso de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Polar_coordinate_system#Complex_numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>coordenadas polares<\/strong><\/a> en el plano complejo, a trav\u00e9s de las cuales se encuentran posteriormente los valores de r y \u03b8. De hecho, es posible que usted pueda adivinar cu\u00e1les son estos valores, \u00a1simplemente observando la f\u00f3rmula en s\u00ed! <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_1_Power_Series\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Derivaci\u00f3n 1: Series de Potencias<\/h3>\n<p>Una de las derivaciones m\u00e1s intuitivas de la f\u00f3rmula de Euler implica el uso de <strong>series de potencias<\/strong>. Consiste en expandir las series de potencias de la exponencial, el seno y el coseno, para finalmente concluir que la igualdad se cumple. <\/p>\n<p>Como advertencia, este enfoque asume que las expansiones en series de potencias de sin\u2061z, cos\u2061z, y ez son <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Absolute_convergence\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>absolutamente convergentes<\/strong><\/a> en todas partes (es decir, que se cumplen para todos los n\u00fameros complejos z). Sin embargo, tambi\u00e9n tiene la ventaja de demostrar que la f\u00f3rmula de Euler se cumple para todos los n\u00fameros complejos z tambi\u00e9n. <\/p>\n<p>Para una variable compleja z, la <strong>expansi\u00f3n en serie de potencias<\/strong> de ez es ez=1+z1!+z22!+z33!+z44!+\u22ef Ahora, tomemos z como ix (donde x es un n\u00famero complejo <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#arbitrary\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">arbitrario<\/a>). A medida que z se eleva a potencias crecientes, i tambi\u00e9n se eleva a potencias crecientes. Las <strong>primeras ocho potencias<\/strong> de i se ven as\u00ed: (por la definici\u00f3n de ) i0=1 i4=i2\u22c5i2=1 i1=i i5=i\u22c5i4=i i2=\u22121 (por la definici\u00f3n de i) i6=i\u22c5i5=\u22121 i3=i\u22c5i2=\u2212i i7=i\u22c5i6=\u2212i (observe la <strong>ciclicidad<\/strong> de las potencias de i: 1, i, \u22121, \u2212i. Utilizaremos estas potencias en breve.)   <\/p>\n<p>Con z=ix, la expansi\u00f3n de ez se convierte en: eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+\u22ef Extrayendo las potencias de i, obtenemos: eix=1+ix\u2212x22!\u2212ix33!+x44!+ix55!\u2212x66!\u2212ix77!+x88!+\u22ef Y dado que la expansi\u00f3n en serie de potencias de ez es absolutamente convergente, podemos reorganizar sus t\u00e9rminos sin alterar su valor. Agrupando los  <strong>t\u00e9rminos reales<\/strong>  y  <strong>t\u00e9rminos imaginarios<\/strong>  juntos, obtenemos: eix=(1\u2212x22!+x44!\u2212x66!+x88!\u2212\u22ef)+i(x\u2212x33!+x55!\u2212x77!+\u22ef) Ahora, hagamos un desv\u00edo y veamos las series de potencias del  <strong>seno<\/strong>  y  <strong>coseno<\/strong>. La serie de potencias de cos\u2061x es cos\u2061x=1\u2212x22!+x44!\u2212x66!+x88!\u2212\u22ef Y para sin\u2061x, es sin\u2061x=x\u2212x33!+x55!\u2212x77!+\u22ef En otras palabras, la \u00faltima ecuaci\u00f3n que ten\u00edamos es precisamente eix=cos\u2061x+isin\u2061x que es la declaraci\u00f3n de la f\u00f3rmula de Euler que est\u00e1bamos buscando.<\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_2_Calculus\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Derivaci\u00f3n 2: C\u00e1lculo<\/h3>\n<p>Otra forma elegante de establecer la f\u00f3rmula de Euler es considerar tanto eix como cos\u2061x+isin\u2061x como <strong>funciones<\/strong> de x, antes de diferenciarlas para encontrar alguna propiedad com\u00fan entre ellas.<\/p>\n<p>Para que eso suceda, sin embargo, uno debe asumir que las funciones ez, cos\u2061x y sin\u2061x est\u00e1n definidas y son <strong>diferenciables<\/strong> para todos los n\u00fameros reales x y n\u00fameros complejos z. Al asumir que estas funciones son diferenciables para todos los n\u00fameros complejos, tambi\u00e9n es posible demostrar que la f\u00f3rmula de Euler se cumple para todos los n\u00fameros complejos. <\/p>\n<p>En primer lugar, sean f1(x) y f2(x) eix y cos\u2061x+isin\u2061x, respectivamente. <strong>Diferenciando<\/strong> f1 mediante la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/chain-rule-derivative\/#Chain_Rule_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">regla de la cadena<\/a> se obtiene:f1\u2032(x)=ieix=if1(x)De manera similar, diferenciando f2 tambi\u00e9n se obtiene:f2\u2032(x)=\u2212sin\u2061x+icos\u2061x=if2(x)En otras palabras, ambas funciones satisfacen la ecuaci\u00f3n diferencial f\u2032(x)=if(x). Ahora, consid\u00e9rese la funci\u00f3n f1f2, que est\u00e1 <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#welldefined\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">bien definida<\/a> para todo x (dado que f2(x)=cos\u2061x+isin\u2061x corresponde a puntos en el c\u00edrculo unitario, que nunca son cero). Establecido esto, utilizando la <strong>regla del cociente<\/strong> en esta funci\u00f3n se obtiene:(f1f2)\u2032(x)=f1\u2032(x)f2(x)\u2212f1(x)f2\u2032(x)[f2(x)]2=if1(x)f2(x)\u2212f1(x)if2(x)[f2(x)]2=0Y dado que la derivada aqu\u00ed es 0, esto implica que la funci\u00f3n f1f2 debe haber sido una <strong>constante<\/strong> desde el principio. \u00bfCu\u00e1l es el valor de esta constante? Averig\u00fc\u00e9moslo sustituyendo x=0 en la funci\u00f3n:(f1f2)(0)=ei0cos\u20610+isin\u20610=1En otras palabras, debemos tener que para todo x:(f1f2)(x)=eixcos\u2061x+isin\u2061x=1que, despu\u00e9s de mover cos\u2061x+isin\u2061x a la derecha, se convierte en la famosa f\u00f3rmula que hemos estado buscando.    <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_3_Polar_Coordinates\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Derivaci\u00f3n 3: Coordenadas Polares<\/h3>\n<p>Otra ingeniosa demostraci\u00f3n de la f\u00f3rmula de Euler implica tratar los exponenciales como n\u00fameros, o m\u00e1s espec\u00edficamente, como n\u00fameros complejos en <strong>coordenadas polares<\/strong>.<\/p>\n<p>En efecto, ya sabemos que todos los n\u00fameros complejos no nulos pueden expresarse en <strong>coordenadas polares<\/strong> de manera \u00fanica. En particular, cualquier n\u00famero de la forma eix (con x real), que es no nulo, puede expresarse como:eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)donde \u03b8 es su <strong>\u00e1ngulo principal<\/strong> desde el eje real positivo (con, digamos, 0\u2264\u03b8&lt;2\u03c0), y r es su <strong>radio<\/strong> (con r&gt;0). No hacemos ninguna suposici\u00f3n sobre los valores de r y \u03b8, excepto el hecho de que son funciones de x (que pueden o no contener x como variable). Ser\u00e1n determinados en el curso de la demostraci\u00f3n.   <\/p>\n<p>(Sin embargo, lo que s\u00ed sabemos es que cuando x=0, el lado izquierdo es 1, lo que implica que r y \u03b8 satisfacen las <strong>condiciones iniciales<\/strong> de r(0)=1 y \u03b8(0)=0, respectivamente.)<\/p>\n<p>A efectos pr\u00e1cticos, comenzaremos <strong>diferenciando<\/strong> ambos lados de la ecuaci\u00f3n. Por la definici\u00f3n de exponencial, diferenciar el lado izquierdo de la ecuaci\u00f3n con respecto a x produce ieix. Despu\u00e9s de diferenciar el lado derecho de la ecuaci\u00f3n, la ecuaci\u00f3n se convierte en:ieix=drdx(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8dxEstamos buscando una expresi\u00f3n que est\u00e9 \u00fanicamente en t\u00e9rminos de r y \u03b8. Para deshacernos de eix, sustituimos r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8) por eix para obtener:ir(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)drdx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8dxUna vez ah\u00ed, distribuyendo la i en el lado izquierdo se obtiene:r(icos\u2061\u03b8\u2212sin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)drdx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8dxIgualando las    <strong>partes imaginarias<\/strong>  y  <strong>partes reales<\/strong>, respectivamente, obtenemos:ircos\u2061\u03b8=isin\u2061\u03b8drdx+ircos\u2061\u03b8d\u03b8dxy\u2212rsin\u2061\u03b8=cos\u2061\u03b8drdx\u2212rsin\u2061\u03b8d\u03b8dxLo que tenemos aqu\u00ed es un <strong>sistema<\/strong>  de dos ecuaciones y dos inc\u00f3gnitas, donde dr\/dx y d\u03b8\/dx son las variables. Podemos resolverlo en unos pocos pasos. Primero, asignando \u03b1 a dr\/dx y \u03b2 a d\u03b8\/dx, obtenemos:(I)(II)(I)rcos\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos\u2061\u03b8)\u03b2(II)\u2212rsin\u2061\u03b8=(cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin\u2061\u03b8)\u03b2Segundo, multiplicando (I) por cos\u2061\u03b8 y (II) por sin\u2061\u03b8, obtenemos:(III)(IV)(III)rcos2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos2\u2061\u03b8)\u03b2(IV)\u2212rsin2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin2\u2061\u03b8)\u03b2El prop\u00f3sito de estas operaciones es eliminar \u03b1 haciendo (III) \u2013 (IV), y cuando lo hacemos, obtenemos:r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)=r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)\u03b2Dado que cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8=1, emerge una ecuaci\u00f3n m\u00e1s simple:r=r\u03b2Y dado que r&gt;0 para todo x, esto implica que \u03b2 \u2014 que hab\u00edamos establecido como d\u03b8\/dx \u2014 es igual a 1.<\/p>\n<p>Una vez ah\u00ed, sustituyendo este resultado de vuelta en (I) y (II) y haciendo algunas cancelaciones, obtenemos:0=(sin\u2061\u03b8)\u03b10=(cos\u2061\u03b8)\u03b1lo que implica que \u03b1 \u2014 que hab\u00edamos establecido como drdx \u2014 debe ser igual a 0.  <\/p>\n<p>Del hecho de que dr\/dx=0, podemos deducir que r debe ser una <strong>constante<\/strong>. Similarmente, del hecho de que d\u03b8\/dx=1, podemos deducir que \u03b8=x+C para alguna constante C. <\/p>\n<p>Sin embargo, dado que r satisface la <strong>condici\u00f3n inicial<\/strong> r(0)=1, debemos tener que r=1. Similarmente, porque \u03b8 satisface la condici\u00f3n inicial \u03b8(0)=0, debemos tener que C=0. Es decir, \u03b8=x.  <\/p>\n<p>Con r y \u03b8 ahora identificados, podemos entonces sustituirlos en la ecuaci\u00f3n original y obtener:eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=cos\u2061x+isin\u2061xque, como se esperaba, es exactamente el enunciado de la f\u00f3rmula de Euler para n\u00fameros reales x.<\/p>\n<h2><span id=\"Applications\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Aplicaciones<\/h2>\n<p>Siendo una de las ecuaciones m\u00e1s importantes en matem\u00e1ticas, la f\u00f3rmula de Euler ciertamente tiene su justa proporci\u00f3n de interesantes <strong>aplicaciones<\/strong> en diferentes temas. Estas incluyen, entre otras: <\/p>\n<ul>\n<li>La famosa <strong>identidad de Euler<\/strong><\/li>\n<li>La <strong>forma exponencial<\/strong> de los n\u00fameros complejos<\/li>\n<li>Definiciones alternativas de funciones <strong>trigonom\u00e9tricas<\/strong> e <strong>hiperb\u00f3licas<\/strong><\/li>\n<li>Generalizaci\u00f3n de funciones <strong>exponenciales<\/strong> y <strong>logar\u00edtmicas<\/strong> a n\u00fameros complejos<\/li>\n<li>Demostraciones alternativas del <strong>teorema de De Moivre<\/strong> y las <strong>identidades trigonom\u00e9tricas aditivas<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<h3><span id=\"Eulers_Identity\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>La identidad de Euler<\/h3>\n<p>La identidad de Euler es frecuentemente considerada como la ecuaci\u00f3n m\u00e1s hermosa en las matem\u00e1ticas. Se expresa como <\/p>\n<blockquote><p>ei\u03c0+1=0<\/p><\/blockquote>\n<p>donde exhibe cinco de las <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>constantes<\/strong><\/a> m\u00e1s importantes en matem\u00e1ticas. Estas son: <\/p>\n<ul>\n<li>El <strong>elemento neutro de la suma<\/strong> 0<\/li>\n<li>La <strong>unidad<\/strong> 1<\/li>\n<li>La <strong>constante Pi<\/strong> \u03c0 (raz\u00f3n entre la circunferencia de un c\u00edrculo y su di\u00e1metro)<\/li>\n<li>La <strong>base del logaritmo natural<\/strong> e<\/li>\n<li>La <strong>unidad imaginaria<\/strong> i<\/li>\n<\/ul>\n<p>Entre estas, se representan tres <strong>tipos de n\u00fameros<\/strong>: enteros, n\u00fameros irracionales y n\u00fameros imaginarios. Tambi\u00e9n se representan tres de las <strong>operaciones matem\u00e1ticas<\/strong> b\u00e1sicas: adici\u00f3n, multiplicaci\u00f3n y exponenciaci\u00f3n. <\/p>\n<p>Obtenemos la identidad de Euler partiendo de la f\u00f3rmula de Euler eix=cos\u2061x+isin\u2061x y estableciendo x=\u03c0 y trasladando el subsiguiente \u22121 al lado izquierdo de la ecuaci\u00f3n. La f\u00f3rmula intermedia ei\u03c0=\u22121 es com\u00fan en el contexto del <strong>c\u00edrculo unitario trigonom\u00e9trico<\/strong> en el plano complejo: corresponde al punto en el c\u00edrculo unitario cuyo \u00e1ngulo con respecto al eje real positivo es \u03c0. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Numbers_in_Exponential_Form\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>N\u00fameros complejos en forma exponencial<\/h3>\n<p>En este punto, ya sabemos que un n\u00famero complejo z puede ser expresado en <strong>coordenadas cartesianas<\/strong> como x+iy, donde x e y son respectivamente la parte real y la parte imaginaria de z.<\/p>\n<p>En efecto, el mismo n\u00famero complejo puede ser expresado tambi\u00e9n en <strong>coordenadas polares<\/strong> como r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8), donde r es la magnitud de su distancia al origen, y \u03b8 es su \u00e1ngulo con respecto al eje real positivo.<\/p>\n<p>Pero no termina ah\u00ed: gracias a la f\u00f3rmula de Euler, todo n\u00famero complejo puede ahora ser expresado como un <strong>exponencial complejo<\/strong> de la siguiente manera:<\/p>\n<blockquote><p>z=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=rei\u03b8<\/p><\/blockquote>\n<p>donde r y \u03b8 son los mismos n\u00fameros que antes.<\/p>\n<p>Para ir de (x,y) a (r,\u03b8), utilizamos las f\u00f3rmulas r=x2+y2\u03b8=atan2\u2061(y,x) (donde atan2\u2061(y,x) es la <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Atan2\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>funci\u00f3n arcotangente de dos argumentos<\/strong><\/a> con atan2\u2061(y,x)=arctan\u2061(yx) siempre que x&gt;0.)<\/p>\n<p>A la inversa, para ir de (r,\u03b8) a (x,y), utilizamos las f\u00f3rmulas: x=rcos\u2061\u03b8y=rsin\u2061\u03b8 La forma exponencial de los n\u00fameros complejos tambi\u00e9n facilita la <strong>multiplicaci\u00f3n<\/strong> de n\u00fameros complejos \u2014 de manera similar a como las coordenadas rectangulares facilitan la suma. Por ejemplo, dados dos n\u00fameros complejos z1=r1ei\u03b81 y z2=r2ei\u03b82, ahora podemos multiplicarlos de la siguiente manera: z1z2=r1ei\u03b81\u22c5r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81+\u03b82) En el mismo esp\u00edritu, tambi\u00e9n podemos <strong>dividir<\/strong> los mismos dos n\u00fameros de la siguiente manera: z1z2=r1ei\u03b81r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81\u2212\u03b82) <\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Nota<\/p>\n<p>Ciertamente, estos presuponen las  <strong>propiedades de los exponentes<\/strong>  tales como ez1+z2=ez1ez2 y e\u2212z1=1ez1, que por ejemplo pueden ser establecidas expandiendo las series de potencias de ez1, e\u2212z1 y ez2.<\/p>\n<\/div>\n<p>Si hubi\u00e9ramos utilizado la notaci\u00f3n rectangular x+iy en su lugar, la misma divisi\u00f3n habr\u00eda requerido multiplicar por el <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/algebra-symbols\/#Operators_Related_to_Complex_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>conjugado complejo<\/strong><\/a> en el numerador y denominador. Con las coordenadas polares, la situaci\u00f3n habr\u00eda sido la misma (quiz\u00e1s incluso peor). <\/p>\n<p>En todo caso, la <strong>forma exponencial<\/strong> ciertamente facilita ver que multiplicar dos n\u00fameros complejos es realmente lo mismo que multiplicar magnitudes y sumar \u00e1ngulos, y que dividir dos n\u00fameros complejos es realmente lo mismo que dividir magnitudes y restar \u00e1ngulos.<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Definitions_of_Key_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Definiciones alternativas de funciones clave<\/h3>\n<p>La f\u00f3rmula de Euler tambi\u00e9n puede ser utilizada para proporcionar definiciones alternativas a <strong>funciones clave<\/strong> como la funci\u00f3n exponencial compleja, funciones trigonom\u00e9tricas como el seno, coseno y tangente, y sus contrapartes hiperb\u00f3licas. Tambi\u00e9n puede ser utilizada para establecer la relaci\u00f3n entre algunas de estas funciones. <\/p>\n<h4><span id=\"Complex_Exponential_Function\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Funci\u00f3n exponencial compleja<\/h4>\n<p>Para comenzar, recordemos que la f\u00f3rmula de Euler establece que eix=cos\u2061x+isin\u2061x Si se asume que la f\u00f3rmula se mantiene solo para x real, entonces la funci\u00f3n exponencial est\u00e1 definida \u00fanicamente hasta los <strong>n\u00fameros imaginarios<\/strong>. Sin embargo, tambi\u00e9n podemos expandir la funci\u00f3n exponencial para incluir todos los n\u00fameros complejos \u2014 siguiendo un truco muy simple: <\/p>\n<blockquote><p>ez=ex+iy(=exeiy)=dfex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Nota<\/p>\n<p>Aqu\u00ed, no estamos necesariamente asumiendo que la  <strong>propiedad aditiva de los exponentes<\/strong>  se cumple (que s\u00ed lo hace), sino que la primera y la \u00faltima expresi\u00f3n son iguales.<\/p>\n<\/div>\n<p>En otras palabras, el exponencial del n\u00famero complejo x+iy es simplemente el n\u00famero complejo cuya <strong>magnitud<\/strong> es ex y cuyo <strong>\u00e1ngulo<\/strong> es y. Resulta interesante que esto implica que el exponencial complejo esencialmente mapea l\u00edneas verticales a c\u00edrculos. He aqu\u00ed una animaci\u00f3n para ilustrar este punto:  <\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/hntpdkicjn?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h4><span id=\"Trigonometric_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Funciones Trigonom\u00e9tricas<\/h4>\n<p>Adem\u00e1s de extender el dominio de la funci\u00f3n exponencial, podemos utilizar la f\u00f3rmula de Euler para derivar una ecuaci\u00f3n similar para el <strong>\u00e1ngulo opuesto<\/strong> \u2212x: e\u2212ix=cos\u2061x\u2212isin\u2061x. Esta ecuaci\u00f3n, junto con la f\u00f3rmula de Euler en s\u00ed, constituyen un <strong>sistema de ecuaciones<\/strong> del cual podemos aislar tanto las funciones seno como coseno.<\/p>\n<p>Por ejemplo, al restar la ecuaci\u00f3n e\u2212ix de la ecuaci\u00f3n eix, los cosenos se cancelan y, tras dividir por 2i, obtenemos la forma exponencial compleja de la <strong>funci\u00f3n seno<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>sin\u2061x=eix\u2212e\u2212ix2i<\/p><\/blockquote>\n<p>De manera similar, al sumar las dos ecuaciones, los senos se cancelan y, tras dividir por 2, obtenemos la forma exponencial compleja de la funci\u00f3n <strong>coseno<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>cos\u2061x=eix+e\u2212ix2<\/p><\/blockquote>\n<p>Para confirmar, he aqu\u00ed un <strong>v\u00eddeo<\/strong> que ilustra las mismas derivaciones con mayor detalle.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LE2uwd9V5vw?start=180\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<p>Por otro lado, la <strong>funci\u00f3n tangente<\/strong> se define como sin\u2061xcos\u2061x, por lo que en t\u00e9rminos de exponenciales complejas, se convierte en:<\/p>\n<blockquote><p>tan\u2061x=eix\u2212e\u2212ixi(eix+e\u2212ix)<\/p><\/blockquote>\n<p>Si se demuestra que la f\u00f3rmula de Euler es v\u00e1lida para todos los n\u00fameros complejos (como lo hicimos en la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">demostraci\u00f3n mediante series de potencias<\/a>), entonces lo mismo ser\u00eda cierto para estas tres f\u00f3rmulas. Su presencia nos permite alternar libremente entre <strong>funciones trigonom\u00e9tricas<\/strong> y <strong>exponenciales complejas<\/strong>, lo cual es una gran ventaja cuando se trata de calcular derivadas e integrales. <\/p>\n<h4><span id=\"Hyperbolic_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Funciones Hiperb\u00f3licas<\/h4>\n<p>Adem\u00e1s de las funciones trigonom\u00e9tricas, las <strong>funciones hiperb\u00f3licas<\/strong> son otra clase de funciones que pueden definirse en t\u00e9rminos de exponenciales complejas. De hecho, es a trav\u00e9s de esta conexi\u00f3n que podemos identificar una funci\u00f3n hiperb\u00f3lica con su contraparte trigonom\u00e9trica. <\/p>\n<p>Por ejemplo, comenzando con el <strong>seno complejo<\/strong> y el <strong>coseno complejo<\/strong> y sustituyendo iz (y haciendo uso de los hechos de que i2=\u22121 y 1\/i=\u2212i), tenemos: sin\u2061iz=ei(iz)\u2212e\u2212i(iz)2i=e\u2212z\u2212ez2i=i(ez\u2212e\u2212z2)=isinh\u2061z cos\u2061iz=ei(iz)+e\u2212i(iz)2=ez+e\u2212z2=cosh\u2061z A partir de esto, tambi\u00e9n podemos sustituir iz en la <strong>tangente compleja<\/strong> y obtener: tan\u2061(iz)=sin\u2061izcos\u2061iz=isinh\u2061zcosh\u2061z=itanh\u2061z En resumen, esto significa que ahora podemos definir las <strong>funciones hiperb\u00f3licas<\/strong> en t\u00e9rminos de funciones trigonom\u00e9tricas de la siguiente manera:<\/p>\n<blockquote><p>sinh\u2061z=sin\u2061izi cosh\u2061z=cos\u2061iz tanh\u2061z=tan\u2061izi<\/p><\/blockquote>\n<p>Sin embargo, estas no son las \u00fanicas funciones a las que podemos proporcionar nuevas definiciones. De hecho, el <strong>logaritmo complejo<\/strong> y el <strong>exponencial complejo general<\/strong> son otras dos clases de funciones que podemos definir como resultado de la f\u00f3rmula de Euler. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Logaritmo Complejo y Exponencial Complejo General<\/h3>\n<p>El logaritmo de un n\u00famero complejo se comporta de manera peculiar en comparaci\u00f3n con el <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Logarithm_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">logaritmo de un n\u00famero real<\/a>. M\u00e1s espec\u00edficamente, tiene un n\u00famero <strong>infinito<\/strong> de valores en lugar de uno. <\/p>\n<p>Para ver c\u00f3mo, comenzamos con la definici\u00f3n de la <strong>funci\u00f3n logar\u00edtmica<\/strong> como la inversa de la funci\u00f3n exponencial. Es decir: eln\u2061z=z ln\u2061(ez)=z Adem\u00e1s, tambi\u00e9n sabemos que para cualquier par de n\u00fameros complejos z1 y z2, la <strong>propiedad aditiva de los exponentes<\/strong> se mantiene: ez1ez2=ez1+z2 As\u00ed, cuando un n\u00famero complejo no nulo se expresa como un <strong>exponencial<\/strong>, tenemos que: z=|z|ei\u03d5=eln\u2061|z|ei\u03d5=eln\u2061|z|+i\u03d5 donde |z| es la magnitud de z y \u03d5 es el \u00e1ngulo de z desde el eje real positivo. Y dado que el logaritmo es simplemente el <strong>exponente<\/strong> de un n\u00famero cuando se eleva a e, se establece la siguiente definici\u00f3n: ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5 A primera vista, esto parece una forma robusta de definir el logaritmo complejo. Sin embargo, una segunda mirada revela que el logaritmo definido de esta manera puede asumir un <strong>n\u00famero infinito de valores<\/strong>, debido al hecho de que \u03d5 tambi\u00e9n puede elegirse como cualquier otro n\u00famero de la forma \u03d5+2\u03c0k (donde k es un entero).   <\/p>\n<p>Por ejemplo, hemos visto anteriormente que e0=1 y e2\u03c0i=1. Esto significa que uno podr\u00eda definir el logaritmo de 1 como 0 y 2\u03c0i, o cualquier n\u00famero de la forma 2\u03c0ki (donde k es un entero). <\/p>\n<p>Para resolver este enigma, se suelen utilizar dos enfoques distintos. El primer enfoque consiste en considerar el logaritmo complejo simplemente como una <strong>funci\u00f3n multivaluada<\/strong>. Es decir, una funci\u00f3n que asocia cada entrada a un conjunto de valores. Una manera de lograrlo es definir ln\u2061z de la siguiente forma:{ln\u2061|z|+i(\u03d5+2\u03c0k)}donde \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 y k es un n\u00famero entero. En este caso, la cl\u00e1usula \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 tiene el efecto de restringir el \u00e1ngulo de z a un \u00fanico candidato. Debido a esto, el \u03d5 definido de esta manera se denomina habitualmente el <strong>\u00e1ngulo principal<\/strong> de z.     <\/p>\n<p>El segundo enfoque, que podr\u00eda considerarse m\u00e1s elegante, consiste simplemente en definir el logaritmo complejo de z de manera que \u03d5 sea el \u00e1ngulo principal de z. Con esta interpretaci\u00f3n, la definici\u00f3n original se convierte entonces en <strong>bien definida<\/strong>: <\/p>\n<blockquote><p>ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/p><\/blockquote>\n<p>Por ejemplo, bajo esta nueva regla, tendr\u00edamos que ln\u20611=0 y ln\u2061i=ln\u2061(ei\u03c02)=i\u03c02. \u00a1Ya no nos enfrentamos al problema de la <strong>periodicidad de los \u00e1ngulos<\/strong>! <\/p>\n<p>Sin embargo, con la restricci\u00f3n de que \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0, el rango del logaritmo complejo se reduce ahora a la regi\u00f3n rectangular \u2212\u03c0&lt;y\u2264\u03c0 (es decir, la <strong>rama principal<\/strong>). Y si deseamos preservar la relaci\u00f3n inversa entre el logaritmo y la funci\u00f3n exponencial, tambi\u00e9n necesitar\u00edamos hacer lo mismo con el dominio de la funci\u00f3n exponencial. <\/p>\n<p>No obstante, dado que el logaritmo complejo est\u00e1 ahora bien definido, tambi\u00e9n podemos definir muchas otras cosas basadas en \u00e9l sin incurrir en ambig\u00fcedades. Un ejemplo de ello ser\u00eda la <strong>exponencial compleja general<\/strong> (con una base a no nula), que puede definirse de la siguiente manera: <\/p>\n<blockquote><p>az=eln\u2061(az)=dfezln\u2061a<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Nota<\/p>\n<p>En este caso, no estamos asumiendo que la  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Power_Rule\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>regla de potencias para logaritmos<\/strong><\/a>  se cumpla (porque  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Properties_of_Logarithm_%E2%80%94_An_Update\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">no se cumple<\/a>), sino que la primera y la \u00faltima expresi\u00f3n son iguales.<\/p>\n<\/div>\n<p>Por ejemplo, utilizando la exponencial compleja general tal como se ha definido anteriormente, ahora podemos comprender el significado de ii:ii=eiln\u2061i=ei\u03c02i=e\u2212\u03c02\u22480,208<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Demostraciones Alternativas del Teorema de De Moivre y las Identidades Trigonom\u00e9tricas Aditivas<\/h3>\n<p>El teorema conocido como <strong>teorema de De Moivre<\/strong> establece que <\/p>\n<blockquote><p>(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/p><\/blockquote>\n<p>donde x es un n\u00famero real y n es un n\u00famero entero. Por defecto, esto puede demostrarse mediante <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#induction\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">inducci\u00f3n<\/a> (utilizando algunas identidades trigonom\u00e9tricas), pero con la ayuda de la <strong>f\u00f3rmula de Euler<\/strong>, ahora existe una demostraci\u00f3n mucho m\u00e1s simple. <\/p>\n<p>Para empezar, recordemos que la <strong>propiedad multiplicativa de los exponentes<\/strong> establece que(ez)k=ezkAunque esta propiedad generalmente no es cierta para n\u00fameros complejos, s\u00ed se cumple en el caso especial en que k es un <strong>n\u00famero entero<\/strong>. De hecho, no es dif\u00edcil ver que en este caso, las matem\u00e1ticas se reducen esencialmente a aplicaciones repetidas de la propiedad aditiva de los exponentes. <\/p>\n<p>Y con esto establecido, podemos derivar f\u00e1cilmente el teorema de De Moivre de la siguiente manera:(cos\u2061x+isin\u2061x)n=(eix)n=einx=cos\u2061nx+isin\u2061nxEn la pr\u00e1ctica, este teorema se utiliza com\u00fanmente para encontrar las <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Nth_root#nth_roots\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>ra\u00edces<\/strong><\/a> de un n\u00famero complejo, y para obtener <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Closed-form_expression\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>expresiones cerradas<\/strong><\/a> para sin\u2061nx y cos\u2061nx. Lo hace reduciendo funciones elevadas a altas potencias a funciones trigonom\u00e9tricas simples, de modo que los c\u00e1lculos puedan realizarse con facilidad. <\/p>\n<p>De hecho, el teorema de De Moivre no es el \u00fanico teorema cuya demostraci\u00f3n puede simplificarse como resultado de la f\u00f3rmula de Euler. Otras identidades, como las <strong>identidades aditivas<\/strong> para sin\u2061(x+y) y cos\u2061(x+y), tambi\u00e9n se benefician de este efecto. <\/p>\n<p>En efecto, ya sabemos que para todos los n\u00fameros reales x e y:cos\u2061(x+y)+isin\u2061(x+y)=ei(x+y)=eix\u22c5eiy=(cos\u2061x+isin\u2061x)(cos\u2061y+isin\u2061y)=(cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y)+i(sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y)Una vez aqu\u00ed, igualar las partes <strong>real<\/strong> e <strong>imaginaria<\/strong> en ambos lados produce las c\u00e9lebres identidades que busc\u00e1bamos:<\/p>\n<blockquote><p>cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061ysin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/p><\/blockquote>\n<h2><span id=\"Conclusion\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p>Como se puede observar, la <strong>f\u00f3rmula de Euler<\/strong> es una joya rara en el \u00e1mbito de las matem\u00e1ticas. Establece la relaci\u00f3n fundamental entre las funciones exponenciales y trigonom\u00e9tricas, y allana el camino para un gran desarrollo en el mundo de los n\u00fameros complejos, las funciones complejas y la teor\u00eda relacionada. <\/p>\n<p>En efecto, ya sea la identidad de Euler o el logaritmo complejo, la f\u00f3rmula de Euler parece no dejar piedra sin remover cuando se trata de expresiones que involucran sin, i y e. Es una <strong>herramienta poderosa<\/strong> cuyo dominio puede ser tremendamente gratificante, y por esa raz\u00f3n es una candidata leg\u00edtima a &#8220;<a href=\"https:\/\/www.feynmanlectures.caltech.edu\/I_22.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">la f\u00f3rmula m\u00e1s notable de las matem\u00e1ticas<\/a>&#8220;. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-table\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Descripci\u00f3n<\/th>\n<th>Enunciado<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td><strong>F\u00f3rmula de Euler<\/strong><\/td>\n<td>eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identidad de Euler<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ei\u03c0+1=0<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">N\u00famero complejo<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">z=rei\u03b8<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Exponencial compleja<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ex+iy=ex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Seno<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sin\u2061x=eix\u2212e\u2212ix2i<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Coseno<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cos\u2061x=eix+e\u2212ix2<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Tangente<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">tan\u2061x=eix\u2212e\u2212ixi(eix+e\u2212ix)<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Seno hiperb\u00f3lico<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sinh\u2061z=sin\u2061izi<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Coseno hiperb\u00f3lico<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cosh\u2061z=cos\u2061iz<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Tangente hiperb\u00f3lica<\/ci> (forma exponencial)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">tanh\u2061z=tan\u2061izi<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Logaritmo complejo<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Exponencial compleja general<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">az=ezln\u2061a<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Teorema de De Moivre<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identidad aditiva del seno<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identidad aditiva del coseno<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<div class=\"wp-container-2 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Portada del libro electr\u00f3nico de la Gu\u00eda de la F\u00f3rmula de Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"Portada del libro electr\u00f3nico de La Gu\u00eda Completa de la F\u00f3rmula de Euler\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Sources\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Fuentes<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Mathematics-Physicists-Susan-Lea\/dp\/0534379974\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Matem\u00e1ticas para F\u00edsicos (Susan M. Lea)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Cambridge-Handbook-Physics-Formulas\/dp\/0521575079\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Manual de Cambridge de F\u00f3rmulas de F\u00edsica (Graham Woan)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En el \u00e1mbito de los n\u00fameros complejos, al integrar expresiones trigonom\u00e9tricas, es probable que encontremos la denominada f\u00f3rmula de Euler. Nombrada en honor al legendario matem\u00e1tico Leonhard Euler, esta poderosa ecuaci\u00f3n merece un examen m\u00e1s detallado \u2014 con el fin de que podamos utilizarla en todo su potencial. 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