{"id":60022,"date":"2023-01-06T04:16:48","date_gmt":"2023-01-06T04:16:48","guid":{"rendered":"https:\/\/euler.euclid.int\/a-propos-de-la-formule-deuler\/"},"modified":"2023-01-06T04:16:48","modified_gmt":"2023-01-06T04:16:48","slug":"a-propos-de-la-formule-deuler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/euler.euclid.int\/fr\/a-propos-de-la-formule-deuler\/","title":{"rendered":"\u00c0 propos de la formule d&#8217;Euler"},"content":{"rendered":"<p>Dans le domaine des nombres complexes, lorsque nous int\u00e9grons des expressions trigonom\u00e9triques, nous rencontrerons probablement la d\u00e9nomm\u00e9e <strong>formule d&#8217;Euler<\/strong>.<\/p>\n<p>Nomm\u00e9e d&#8217;apr\u00e8s le math\u00e9maticien l\u00e9gendaire <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Leonhard_Euler\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Leonhard Euler<\/a>, cette puissante \u00e9quation m\u00e9rite un examen plus approfondi \u2014 afin que nous puissions l&#8217;utiliser \u00e0 son plein potentiel.<\/p>\n<p><iframe title=\"Euler&#039;s formula with introductory group theory\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mvmuCPvRoWQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>Nous examinerons comment la formule d&#8217;Euler nous permet d&#8217;exprimer les nombres complexes sous forme d&#8217;<strong>exponentielles<\/strong>, et explorerons les diff\u00e9rentes mani\u00e8res dont elle peut \u00eatre \u00e9tablie avec une relative facilit\u00e9.<\/p>\n<p>De plus, nous consid\u00e9rerons \u00e9galement ses diverses <strong>applications<\/strong> telles que le cas particulier de l&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler, la forme exponentielle des nombres complexes, les d\u00e9finitions alternatives des fonctions cl\u00e9s, et les preuves alternatives du <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/De_Moivre%27s_formula\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">th\u00e9or\u00e8me de De Moivre<\/a> et des <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/List_of_trigonometric_identities#Angle_sum_and_difference_identities\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">identit\u00e9s trigonom\u00e9triques additives<\/a>.<\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Note<\/p>\n<p>Cette formule d&#8217;Euler doit \u00eatre distingu\u00e9e des autres formules d&#8217;Euler, telle que celle pour  <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Euler_characteristic#Polyhedra\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>les poly\u00e8dres convexes<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-container-1 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Couverture de l'ebook Guide de la formule d'Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"Couverture de l'ebook Le Guide Complet de la Formule d'Euler\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Pr\u00e9f\u00e9rez-vous plut\u00f4t la version PDF ?<\/p>\n<p>Obtenez notre guide complet de 22 pages sur la formule d&#8217;Euler \u2014 au format <strong>PDF<\/strong> hors ligne et imprimable.<\/p>\n<div class=\"wp-block-button aligncenter\"><a class=\"wp-block-button__link has-text-color has-background\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\">Oui. Ce serait excellent. <\/a><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><img decoding=\"async\" title=\"Diagramme de la formule d'Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Euler-formula-diagram.png?x30583\" alt=\"Diagramme illustrant la formule d'Euler pour les nombres complexes\" width=\"900\" height=\"572\"><\/p>\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_33_2 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\">Table des mati\u00e8res<\/p>\n<p><span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\"><label for=\"item\" aria-label=\"Table of Content\"><i class=\"ez-toc-glyphicon ez-toc-icon-toggle\"><\/i><\/label><input id=\"item\" type=\"checkbox\"><\/a><\/span><\/div>\n<nav>\n<ul class=\"ez-toc-list ez-toc-list-level-1\">\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" title=\"La formule d'Euler expliqu\u00e9e : Introduction, interpr\u00e9tation et exemples\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\">La formule d&#8217;Euler expliqu\u00e9e : Introduction, interpr\u00e9tation et exemples<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" title=\"D\u00e9rivations\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivations\">D\u00e9rivations<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" title=\"D\u00e9rivation 1 : S\u00e9ries de puissances\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">D\u00e9rivation 1 : S\u00e9ries de puissances<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" title=\"D\u00e9rivation 2 : Calcul\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_2_Calculus\">D\u00e9rivation 2 : Calcul<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" title=\"D\u00e9rivation 3 : Coordonn\u00e9es polaires\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_3_Polar_Coordinates\">D\u00e9rivation 3 : Coordonn\u00e9es polaires<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" title=\"Applications\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Applications\">Applications<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" title=\"L'identit\u00e9 d'Euler\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Identity\">L&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" title=\"Nombres complexes sous forme exponentielle\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Numbers_in_Exponential_Form\">Nombres complexes sous forme exponentielle<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" title=\"D\u00e9finitions alternatives des fonctions cl\u00e9s\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Definitions_of_Key_Functions\">D\u00e9finitions alternatives des fonctions cl\u00e9s<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-4\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" title=\"Fonction exponentielle complexe\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Exponential_Function\">Fonction exponentielle complexe<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-11\" title=\"Fonctions trigonom\u00e9triques\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Trigonometric_Functions\">Fonctions trigonom\u00e9triques<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-12\" title=\"Fonctions hyperboliques\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Hyperbolic_Functions\">Fonctions hyperboliques<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-13\" title=\"Logarithme complexe et exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\">Logarithme complexe et exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-14\" title=\"Preuves alternatives du th\u00e9or\u00e8me de De Moivre et des identit\u00e9s trigonom\u00e9triques additives\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\">Preuves alternatives du th\u00e9or\u00e8me de De Moivre et des identit\u00e9s trigonom\u00e9triques additives<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-15\" title=\"Conclusion\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Conclusion\">Conclusion<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-16\" title=\"Sources\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Sources\">Sources<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/nav>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>La formule d&#8217;Euler expliqu\u00e9e : Introduction, interpr\u00e9tation et exemples<\/h2>\n<p>Alors, qu&#8217;est-ce exactement que la <strong>formule d&#8217;Euler<\/strong> ? En r\u00e9sum\u00e9, il s&#8217;agit du th\u00e9or\u00e8me qui stipule que <\/p>\n<blockquote><p>eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/p><\/blockquote>\n<p>o\u00f9 :<\/p>\n<ul>\n<li>x est un <strong>nombre r\u00e9el<\/strong>.<\/li>\n<li>e est la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>base du logarithme naturel<\/strong><\/a>.<\/li>\n<li>i est l&#8217;<a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>unit\u00e9 imaginaire<\/strong><\/a> (c&#8217;est-\u00e0-dire la racine carr\u00e9e de \u22121).<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Note<\/p>\n<p>Dans cette formule, le membre de droite est parfois abr\u00e9g\u00e9 en cis\u2061x, bien que l&#8217;expression de gauche eix soit g\u00e9n\u00e9ralement pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e \u00e0 la notation cis.<\/p>\n<\/div>\n<p>La formule d&#8217;Euler \u00e9tablit la relation fondamentale entre les <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/geometry-trigonometry-symbols\/#Trigonometric_Functions\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>fonctions trigonom\u00e9triques<\/strong><\/a> et les <strong>fonctions exponentielles<\/strong>. G\u00e9om\u00e9triquement, elle peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme un moyen de relier deux repr\u00e9sentations du m\u00eame nombre complexe unitaire dans le plan complexe. <\/p>\n<p>Examinons quelques-unes des <strong>valeurs cl\u00e9s<\/strong> de la formule d&#8217;Euler, et voyons comment elles correspondent aux points du cercle trigonom\u00e9trique\/unitaire :<\/p>\n<ul>\n<li>Pour x=0, nous avons e0=cos\u20610+isin\u20610, ce qui donne 1=1. Jusqu&#8217;ici, tout va bien : nous savons qu&#8217;un angle de 0 sur le cercle trigonom\u00e9trique est 1 sur l&#8217;axe r\u00e9el, et c&#8217;est ce que nous obtenons ici. <\/li>\n<li>Pour x=1, nous avons ei=cos\u20611+isin\u20611. Ce r\u00e9sultat sugg\u00e8re que ei est pr\u00e9cis\u00e9ment le point sur le cercle unitaire dont l&#8217;angle est <strong>1 radian<\/strong>. <\/li>\n<li>Pour x=\u03c02, nous avons ei\u03c02=cos\u2061\u03c02+isin\u2061\u03c02=i. Ce r\u00e9sultat est utile dans certains calculs li\u00e9s \u00e0 la physique. <\/li>\n<li>Pour x=\u03c0, nous avons ei\u03c0=cos\u2061\u03c0+isin\u2061\u03c0, ce qui signifie que ei\u03c0=\u22121. Ce r\u00e9sultat est \u00e9quivalent \u00e0 la c\u00e9l\u00e8bre <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Euler%E2%80%99s_Identity\"><strong>identit\u00e9 d&#8217;Euler<\/strong><\/a>. <\/li>\n<li>Pour x=2\u03c0, nous avons ei(2\u03c0)=cos\u20612\u03c0+isin\u20612\u03c0, ce qui signifie que ei(2\u03c0)=1, comme pour x=0.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Une cl\u00e9 pour comprendre la formule d&#8217;Euler r\u00e9side dans sa r\u00e9\u00e9criture comme suit : (ei)x = cos x + i sin x o\u00f9 :<\/p>\n<ul>\n<li>L&#8217;expression de droite peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme le <strong>nombre complexe unitaire<\/strong> avec un angle x.<\/li>\n<li>L&#8217;expression de gauche peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme le <strong>nombre complexe unitaire d&#8217;un radian<\/strong> \u00e9lev\u00e9 \u00e0 la puissance x.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Et puisque l&#8217;\u00e9l\u00e9vation d&#8217;un nombre complexe unitaire \u00e0 une puissance peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme des <strong>multiplications r\u00e9p\u00e9t\u00e9es<\/strong> (c&#8217;est-\u00e0-dire, l&#8217;addition d&#8217;angles dans ce cas), la formule d&#8217;Euler peut \u00eatre interpr\u00e9t\u00e9e comme deux mani\u00e8res diff\u00e9rentes de parcourir le cercle unitaire pour arriver au m\u00eame point.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/v1nugr08y5?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h2><span id=\"Derivations\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>D\u00e9monstrations<\/h2>\n<p>La formule d&#8217;Euler peut \u00eatre \u00e9tablie d&#8217;au moins trois mani\u00e8res. La premi\u00e8re d\u00e9monstration est bas\u00e9e sur les <strong>s\u00e9ries enti\u00e8res<\/strong>, o\u00f9 les fonctions exponentielle, sinus et cosinus sont d\u00e9velopp\u00e9es en s\u00e9ries enti\u00e8res pour conclure que la formule est effectivement valide. <\/p>\n<p>La deuxi\u00e8me d\u00e9monstration de la formule d&#8217;Euler est bas\u00e9e sur le <strong>calcul diff\u00e9rentiel<\/strong>, dans lequel les deux c\u00f4t\u00e9s de l&#8217;\u00e9quation sont trait\u00e9s comme des fonctions et diff\u00e9renci\u00e9s en cons\u00e9quence. Cela conduit ensuite \u00e0 l&#8217;identification d&#8217;une propri\u00e9t\u00e9 commune \u2014 qui peut \u00eatre exploit\u00e9e pour montrer que les deux fonctions sont effectivement \u00e9gales. <\/p>\n<p>Une autre d\u00e9monstration de la formule d&#8217;Euler implique l&#8217;utilisation de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Polar_coordinate_system#Complex_numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>coordonn\u00e9es polaires<\/strong><\/a> dans le plan complexe, \u00e0 travers lesquelles les valeurs de r et \u03b8 sont subs\u00e9quemment trouv\u00e9es. En fait, vous pourriez \u00eatre en mesure de deviner ces valeurs \u2014 simplement en examinant la formule elle-m\u00eame ! <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_1_Power_Series\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>D\u00e9monstration 1 : S\u00e9ries enti\u00e8res<\/h3>\n<p>L&#8217;une des d\u00e9monstrations les plus intuitives de la formule d&#8217;Euler implique l&#8217;utilisation de <strong>s\u00e9ries enti\u00e8res<\/strong>. Elle consiste \u00e0 d\u00e9velopper les s\u00e9ries enti\u00e8res de l&#8217;exponentielle, du sinus et du cosinus \u2014 pour finalement conclure que l&#8217;\u00e9galit\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9e. <\/p>\n<p>\u00c0 titre de mise en garde, cette approche suppose que les d\u00e9veloppements en s\u00e9ries enti\u00e8res de sin z, cos z, et ez sont <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Absolute_convergence\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>absolument convergents<\/strong><\/a> partout (c&#8217;est-\u00e0-dire qu&#8217;ils sont valables pour tous les nombres complexes z). Cependant, elle a \u00e9galement l&#8217;avantage de montrer que la formule d&#8217;Euler est valable pour tous les nombres complexes z. <\/p>\n<p>Pour une variable complexe z, le <strong>d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re<\/strong> de ez est ez = 1 + z\/1! + z\u00b2\/2! + z\u00b3\/3! + z\u2074\/4! + \u22ef Maintenant, prenons z = ix (o\u00f9 x est un nombre complexe <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#arbitrary\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">arbitraire<\/a>). Lorsque z est \u00e9lev\u00e9 \u00e0 des puissances croissantes, i est \u00e9galement \u00e9lev\u00e9 \u00e0 des puissances croissantes. Les <strong>huit premi\u00e8res puissances<\/strong> de i se pr\u00e9sentent ainsi : (par d\u00e9finition de i) i\u2070 = 1 ; i\u2074 = i\u00b2 \u00b7 i\u00b2 = 1 ; i\u00b9 = i ; i\u2075 = i \u00b7 i\u2074 = i ; i\u00b2 = \u22121 (par d\u00e9finition de i) ; i\u2076 = i \u00b7 i\u2075 = \u22121 ; i\u00b3 = i \u00b7 i\u00b2 = \u2212i ; i\u2077 = i \u00b7 i\u2076 = \u2212i (remarquez la <strong>cyclicit\u00e9<\/strong> des puissances de i : 1, i, \u22121, \u2212i. Nous utiliserons ces puissances sous peu.)   <\/p>\n<p>Avec z = ix, le d\u00e9veloppement de ez devient : eix = 1 + ix + (ix)\u00b2\/2! + (ix)\u00b3\/3! + (ix)\u2074\/4! + \u22ef En extrayant les puissances de i, nous obtenons : eix = 1 + ix \u2212 x\u00b2\/2! \u2212 ix\u00b3\/3! + x\u2074\/4! + ix\u2075\/5! \u2212 x\u2076\/6! \u2212 ix\u2077\/7! + x\u2078\/8! + \u22ef Et puisque le d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re de ez est absolument convergent, nous pouvons r\u00e9arranger ses termes sans en alt\u00e9rer la valeur. En regroupant les termes <strong>r\u00e9els<\/strong>  et  <strong>imaginaires<\/strong> , nous obtenons : eix = (1 \u2212 x\u00b2\/2! + x\u2074\/4! \u2212 x\u2076\/6! + x\u2078\/8! \u2212 \u22ef) + i(x \u2212 x\u00b3\/3! + x\u2075\/5! \u2212 x\u2077\/7! + \u22ef) Maintenant, faisons un d\u00e9tour et examinons les s\u00e9ries enti\u00e8res du <strong>sinus<\/strong>  et  <strong>cosinus<\/strong>. La s\u00e9rie enti\u00e8re de cos x est cos x = 1 \u2212 x\u00b2\/2! + x\u2074\/4! \u2212 x\u2076\/6! + x\u2078\/8! \u2212 \u22ef Et pour sin x, c&#8217;est sin x = x \u2212 x\u00b3\/3! + x\u2075\/5! \u2212 x\u2077\/7! + \u22ef En d&#8217;autres termes, la derni\u00e8re \u00e9quation que nous avions est pr\u00e9cis\u00e9ment eix = cos x + i sin x, qui est l&#8217;\u00e9nonc\u00e9 de la formule d&#8217;Euler que nous recherchions.<\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_2_Calculus\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>D\u00e9monstration 2 : Calcul diff\u00e9rentiel<\/h3>\n<p>Une autre mani\u00e8re \u00e9l\u00e9gante d&#8217;\u00e9tablir la formule d&#8217;Euler est de consid\u00e9rer \u00e0 la fois eix et cos x + i sin x comme des <strong>fonctions<\/strong> de x, avant de les diff\u00e9rencier pour trouver une propri\u00e9t\u00e9 commune \u00e0 leur sujet.<\/p>\n<p>Pour que cela se produise, cependant, on doit supposer que les fonctions ez, cos x et sin x sont d\u00e9finies et <strong>diff\u00e9rentiables<\/strong> pour tous les nombres r\u00e9els x et les nombres complexes z. En supposant que ces fonctions sont diff\u00e9rentiables pour tous les nombres complexes, il est \u00e9galement possible de montrer que la formule d&#8217;Euler est valable pour tous les nombres complexes. <\/p>\n<p>Tout d&#8217;abord, soit f1(x) et f2(x) respectivement eix et cos\u2061x+isin\u2061x. En <strong>diff\u00e9renciant<\/strong> f1 via la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/chain-rule-derivative\/#Chain_Rule_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">r\u00e8gle de d\u00e9rivation en cha\u00eene<\/a>, on obtient alors : f1\u2032(x)=ieix=if1(x). De m\u00eame, la diff\u00e9renciation de f2 donne \u00e9galement : f2\u2032(x)=\u2212sin\u2061x+icos\u2061x=if2(x). En d&#8217;autres termes, les deux fonctions satisfont l&#8217;\u00e9quation diff\u00e9rentielle f\u2032(x)=if(x). Consid\u00e9rons maintenant la fonction f1\/f2, qui est <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#welldefined\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">bien d\u00e9finie<\/a> pour tout x (puisque f2(x)=cos\u2061x+isin\u2061x correspond \u00e0 des points sur le cercle unitaire, qui ne sont jamais nuls). Cela \u00e9tant \u00e9tabli, en utilisant la <strong>r\u00e8gle du quotient<\/strong> sur cette fonction, on obtient alors : (f1\/f2)\u2032(x)=f1\u2032(x)f2(x)\u2212f1(x)f2\u2032(x)\/[f2(x)]2=if1(x)f2(x)\u2212f1(x)if2(x)\/[f2(x)]2=0. Et puisque la d\u00e9riv\u00e9e ici est 0, cela implique que la fonction f1\/f2 doit avoir \u00e9t\u00e9 une <strong>constante<\/strong> d\u00e8s le d\u00e9part. Quelle est la valeur de cette constante ? D\u00e9terminons-la en substituant x=0 dans la fonction : (f1\/f2)(0)=ei0\/(cos\u20610+isin\u20610)=1. En d&#8217;autres termes, nous devons avoir pour tout x : (f1\/f2)(x)=eix\/(cos\u2061x+isin\u2061x)=1, ce qui, apr\u00e8s avoir d\u00e9plac\u00e9 cos\u2061x+isin\u2061x \u00e0 droite, devient la c\u00e9l\u00e8bre formule que nous recherchions.    <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_3_Polar_Coordinates\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>D\u00e9rivation 3 : Coordonn\u00e9es polaires<\/h3>\n<p>Une autre preuve ing\u00e9nieuse de la formule d&#8217;Euler implique de traiter les exponentielles comme des nombres, ou plus pr\u00e9cis\u00e9ment, comme des nombres complexes en <strong>coordonn\u00e9es polaires<\/strong>.<\/p>\n<p>En effet, nous savons d\u00e9j\u00e0 que tous les nombres complexes non nuls peuvent \u00eatre exprim\u00e9s de mani\u00e8re unique en <strong>coordonn\u00e9es polaires<\/strong>. En particulier, tout nombre de la forme eix (avec x r\u00e9el), qui est non nul, peut \u00eatre exprim\u00e9 comme : eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8) o\u00f9 \u03b8 est son <strong>angle principal<\/strong> par rapport \u00e0 l&#8217;axe r\u00e9el positif (avec, disons, 0\u2264\u03b8&lt;2\u03c0), et r est son <strong>rayon<\/strong> (avec r&gt;0). Nous ne faisons aucune hypoth\u00e8se sur les valeurs de r et \u03b8, except\u00e9 le fait qu&#8217;elles sont des fonctions de x (qui peuvent ou non contenir x comme variable). Elles seront d\u00e9termin\u00e9es au cours de la d\u00e9monstration.   <\/p>\n<p>(Cependant, ce que nous savons, c&#8217;est que lorsque x=0, le c\u00f4t\u00e9 gauche est 1, ce qui implique que r et \u03b8 satisfont les <strong>conditions initiales<\/strong> de r(0)=1 et \u03b8(0)=0, respectivement.)<\/p>\n<p>Pour ce que cela vaut, nous commencerons par <strong>diff\u00e9rencier<\/strong> les deux c\u00f4t\u00e9s de l&#8217;\u00e9quation. Par d\u00e9finition de l&#8217;exponentielle, diff\u00e9rencier le c\u00f4t\u00e9 gauche de l&#8217;\u00e9quation par rapport \u00e0 x donne ieix. Apr\u00e8s avoir diff\u00e9renci\u00e9 le c\u00f4t\u00e9 droit de l&#8217;\u00e9quation, l&#8217;\u00e9quation devient alors : ieix=dr\/dx(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. Nous recherchons une expression qui soit uniquement en termes de r et \u03b8. Pour nous d\u00e9barrasser de eix, nous substituons r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8) \u00e0 eix pour obtenir : ir(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)dr\/dx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. Une fois l\u00e0, en distribuant le i du c\u00f4t\u00e9 gauche, on obtient : r(icos\u2061\u03b8\u2212sin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)dr\/dx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. En \u00e9galant les    <strong>parties imaginaires<\/strong>  et  <strong>parties r\u00e9elles<\/strong>, respectivement, nous obtenons : ircos\u2061\u03b8=isin\u2061\u03b8dr\/dx+ircos\u2061\u03b8d\u03b8\/dx et \u2212rsin\u2061\u03b8=cos\u2061\u03b8dr\/dx\u2212rsin\u2061\u03b8d\u03b8\/dx. Ce que nous avons ici est un <strong>syst\u00e8me<\/strong>  de deux \u00e9quations \u00e0 deux inconnues, o\u00f9 dr\/dx et d\u03b8\/dx sont les variables. Nous pouvons le r\u00e9soudre en quelques \u00e9tapes. Premi\u00e8rement, en attribuant \u03b1 \u00e0 dr\/dx et \u03b2 \u00e0 d\u03b8\/dx, nous obtenons : (I) (II) (I) rcos\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos\u2061\u03b8)\u03b2 (II) \u2212rsin\u2061\u03b8=(cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin\u2061\u03b8)\u03b2. Deuxi\u00e8mement, en multipliant (I) par cos\u2061\u03b8 et (II) par sin\u2061\u03b8, nous obtenons : (III) (IV) (III) rcos2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos2\u2061\u03b8)\u03b2 (IV) \u2212rsin2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin2\u2061\u03b8)\u03b2. Le but de ces op\u00e9rations est d&#8217;\u00e9liminer \u03b1 en faisant (III) \u2013 (IV), et lorsque nous le faisons, nous obtenons : r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)=r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)\u03b2. Puisque cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8=1, une \u00e9quation plus simple \u00e9merge : r=r\u03b2. Et puisque r&gt;\u22600 pour tout x, cela implique que \u03b2 \u2014 que nous avions d\u00e9fini comme \u00e9tant d\u03b8\/dx \u2014 est \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n<p>Une fois l\u00e0, en substituant ce r\u00e9sultat dans (I) et (II) et en proc\u00e9dant \u00e0 quelques annulations, nous obtenons : 0=(sin\u2061\u03b8)\u03b1 0=(cos\u2061\u03b8)\u03b1 ce qui implique que \u03b1 \u2014 que nous avons d\u00e9fini comme \u00e9tant dr\/dx \u2014 doit \u00eatre \u00e9gal \u00e0 0.  <\/p>\n<p>Du fait que dr\/dx=0, nous pouvons d\u00e9duire que r doit \u00eatre une <strong>constante<\/strong>. De m\u00eame, du fait que d\u03b8\/dx=1, nous pouvons d\u00e9duire que \u03b8=x+C pour une certaine constante C. <\/p>\n<p>Cependant, puisque r satisfait la <strong>condition initiale<\/strong> r(0)=1, nous devons avoir r=1. De m\u00eame, parce que \u03b8 satisfait la condition initiale \u03b8(0)=0, nous devons avoir C=0. C&#8217;est-\u00e0-dire, \u03b8=x.  <\/p>\n<p>Avec r et \u03b8 maintenant identifi\u00e9s, nous pouvons alors les substituer dans l&#8217;\u00e9quation originale et obtenir : eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=cos\u2061x+isin\u2061x qui, comme pr\u00e9vu, est exactement l&#8217;\u00e9nonc\u00e9 de la formule d&#8217;Euler pour les nombres r\u00e9els x.<\/p>\n<h2><span id=\"Applications\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Applications<\/h2>\n<p>\u00c9tant l&#8217;une des \u00e9quations les plus importantes en math\u00e9matiques, la formule d&#8217;Euler a certainement sa part d&#8217;int\u00e9ressantes <strong>applications<\/strong> dans diff\u00e9rents domaines. Celles-ci incluent, entre autres : <\/p>\n<ul>\n<li>La c\u00e9l\u00e8bre <strong>identit\u00e9 d&#8217;Euler<\/strong><\/li>\n<li>La <strong>forme exponentielle<\/strong> des nombres complexes<\/li>\n<li>Les d\u00e9finitions alternatives des fonctions <strong>trigonom\u00e9triques<\/strong> et <strong>hyperboliques<\/strong><\/li>\n<li>La g\u00e9n\u00e9ralisation des fonctions <strong>exponentielles<\/strong> et <strong>logarithmiques<\/strong> aux nombres complexes<\/li>\n<li>D\u00e9monstrations alternatives du <strong>th\u00e9or\u00e8me de de Moivre<\/strong> et des <strong>identit\u00e9s additives trigonom\u00e9triques<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<h3><span id=\"Eulers_Identity\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>L&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler<\/h3>\n<p>L&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler est souvent consid\u00e9r\u00e9e comme l&#8217;\u00e9quation la plus \u00e9l\u00e9gante en math\u00e9matiques. Elle s&#8217;\u00e9crit comme suit : <\/p>\n<blockquote><p>ei\u03c0+1=0<\/p><\/blockquote>\n<p><cx id=\"gid_1\"><\/cx>o\u00f9 elle met en \u00e9vidence cinq des <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>constantes<\/strong><\/a> les plus importantes en math\u00e9matiques. Ces constantes sont : <\/p>\n<ul>\n<li>L&#8217;<strong>\u00e9l\u00e9ment neutre de l&#8217;addition<\/strong> 0<\/li>\n<li>L&#8217;<strong>unit\u00e9<\/strong> 1<\/li>\n<li>La <strong>constante Pi<\/strong> \u03c0 (rapport entre la circonf\u00e9rence d&#8217;un cercle et son diam\u00e8tre)<\/li>\n<li>La <strong>base du logarithme naturel<\/strong> e<\/li>\n<li>L&#8217;<strong>unit\u00e9 imaginaire<\/strong> i<\/li>\n<\/ul>\n<p>Parmi ceux-ci, trois <strong>types de nombres<\/strong> sont repr\u00e9sent\u00e9s : les entiers, les nombres irrationnels et les nombres imaginaires. Trois des <strong>op\u00e9rations math\u00e9matiques<\/strong> fondamentales sont \u00e9galement repr\u00e9sent\u00e9es : l&#8217;addition, la multiplication et l&#8217;exponentiation. <\/p>\n<p>Nous obtenons l&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler en partant de la formule d&#8217;Euler eix=cos\u2061x+isin\u2061x et en posant x=\u03c0, puis en transf\u00e9rant le \u22121 r\u00e9sultant dans le membre de gauche. La forme interm\u00e9diaire ei\u03c0=\u22121 est courante dans le contexte du <strong>cercle trigonom\u00e9trique unitaire<\/strong> dans le plan complexe : elle correspond au point sur le cercle unitaire dont l&#8217;angle par rapport \u00e0 l&#8217;axe r\u00e9el positif est \u03c0. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Numbers_in_Exponential_Form\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Nombres complexes sous forme exponentielle<\/h3>\n<p>\u00c0 ce stade, nous savons d\u00e9j\u00e0 qu&#8217;un nombre complexe z peut \u00eatre exprim\u00e9 en <strong>coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes<\/strong> sous la forme x+iy, o\u00f9 x et y sont respectivement la partie r\u00e9elle et la partie imaginaire de z.<\/p>\n<p>En effet, le m\u00eame nombre complexe peut \u00e9galement \u00eatre exprim\u00e9 en <strong>coordonn\u00e9es polaires<\/strong> sous la forme r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8), o\u00f9 r est le module de sa distance \u00e0 l&#8217;origine, et \u03b8 est son argument par rapport \u00e0 l&#8217;axe r\u00e9el positif.<\/p>\n<p>Mais cela ne s&#8217;arr\u00eate pas l\u00e0 : gr\u00e2ce \u00e0 la formule d&#8217;Euler, tout nombre complexe peut d\u00e9sormais \u00eatre exprim\u00e9 sous forme d&#8217;<strong>exponentielle complexe<\/strong> comme suit :<\/p>\n<blockquote><p>z=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=rei\u03b8<\/p><\/blockquote>\n<p><cx id=\"gid_1\"><\/cx>o\u00f9 r et \u03b8 sont les m\u00eames nombres qu&#8217;auparavant.<\/p>\n<p>Pour passer de (x,y) \u00e0 (r,\u03b8), nous utilisons les formules r=x2+y2\u03b8=atan2\u2061(y,x) (o\u00f9 atan2\u2061(y,x) est la <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Atan2\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>fonction arctangente \u00e0 deux arguments<\/strong><\/a> avec atan2\u2061(y,x)=arctan\u2061(yx) chaque fois que x<cx id=\"gid_2\"><\/cx>0.)<\/p>\n<p>Inversement, pour passer de (r,\u03b8) \u00e0 (x,y), nous utilisons les formules : x=rcos\u2061\u03b8y=rsin\u2061\u03b8 La forme exponentielle des nombres complexes facilite \u00e9galement la <strong>multiplication<\/strong> des nombres complexes \u2014 de la m\u00eame mani\u00e8re que les coordonn\u00e9es rectangulaires facilitent l&#8217;addition. Par exemple, \u00e9tant donn\u00e9 deux nombres complexes z1=r1ei\u03b81 et z2=r2ei\u03b82, nous pouvons maintenant les multiplier comme suit : z1z2=r1ei\u03b81\u22c5r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81+\u03b82) Dans le m\u00eame esprit, nous pouvons \u00e9galement <strong>diviser<\/strong> les deux m\u00eames nombres comme suit : z1z2=r1ei\u03b81r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81\u2212\u03b82) <\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Note<\/p>\n<p>Il convient de pr\u00e9ciser que cela pr\u00e9suppose les <strong>propri\u00e9t\u00e9s des exposants<\/strong>  telles que ez1+z2=ez1ez2 et e\u2212z1=1ez1, qui peuvent par exemple \u00eatre \u00e9tablies en d\u00e9veloppant les s\u00e9ries de puissances de ez1, e\u2212z1 et ez2.<\/p>\n<\/div>\n<p>Si nous avions utilis\u00e9 la notation rectangulaire x+iy \u00e0 la place, la m\u00eame division aurait n\u00e9cessit\u00e9 la multiplication par le <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/algebra-symbols\/#Operators_Related_to_Complex_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>conjugu\u00e9 complexe<\/strong><\/a> au num\u00e9rateur et au d\u00e9nominateur. Avec les coordonn\u00e9es polaires, la situation aurait \u00e9t\u00e9 la m\u00eame (voire peut-\u00eatre pire). <\/p>\n<p>Quoi qu&#8217;il en soit, la <strong>forme exponentielle<\/strong> permet de voir plus facilement que multiplier deux nombres complexes revient r\u00e9ellement \u00e0 multiplier les modules et \u00e0 additionner les arguments, et que diviser deux nombres complexes revient r\u00e9ellement \u00e0 diviser les modules et \u00e0 soustraire les arguments.<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Definitions_of_Key_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>D\u00e9finitions alternatives des fonctions cl\u00e9s<\/h3>\n<p>La formule d&#8217;Euler peut \u00e9galement \u00eatre utilis\u00e9e pour fournir des d\u00e9finitions alternatives aux <strong>fonctions cl\u00e9s<\/strong> telles que la fonction exponentielle complexe, les fonctions trigonom\u00e9triques comme le sinus, le cosinus et la tangente, ainsi que leurs homologues hyperboliques. Elle peut \u00e9galement \u00eatre utilis\u00e9e pour \u00e9tablir la relation entre certaines de ces fonctions. <\/p>\n<h4><span id=\"Complex_Exponential_Function\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Fonction exponentielle complexe<\/h4>\n<p>Pour commencer, rappelons que la formule d&#8217;Euler stipule que eix=cos\u2061x+isin\u2061x Si la formule est suppos\u00e9e valide uniquement pour x r\u00e9el, alors la fonction exponentielle n&#8217;est d\u00e9finie que jusqu&#8217;aux <strong>nombres imaginaires<\/strong>. Cependant, nous pouvons \u00e9galement \u00e9tendre la fonction exponentielle pour inclure tous les nombres complexes \u2014 en suivant une astuce tr\u00e8s simple : <\/p>\n<blockquote><p>ez=ex+iy(=exeiy)=dfex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Note<\/p>\n<p>Ici, nous ne supposons pas n\u00e9cessairement que la <strong>propri\u00e9t\u00e9 additive des exposants<\/strong>  est valide (ce qui est le cas), mais que la premi\u00e8re et la derni\u00e8re expression sont \u00e9gales.<\/p>\n<\/div>\n<p>En d&#8217;autres termes, l&#8217;exponentielle du nombre complexe x+iy est simplement le nombre complexe dont le <strong>module<\/strong> est ex et dont l&#8217;<strong>argument<\/strong> est y. Il est int\u00e9ressant de noter que cela signifie que l&#8217;exponentielle complexe fait essentiellement correspondre des lignes verticales \u00e0 des cercles. Voici une animation pour illustrer ce point :  <\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/hntpdkicjn?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h4><span id=\"Trigonometric_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Fonctions trigonom\u00e9triques<\/h4>\n<p>Outre l&#8217;extension du domaine de la fonction exponentielle, nous pouvons \u00e9galement utiliser la formule d&#8217;Euler pour d\u00e9river une \u00e9quation similaire pour l&#8217;<strong>angle oppos\u00e9<\/strong> \u2212x : e\u2212ix = cos x \u2212 i sin x. Cette \u00e9quation, ainsi que la formule d&#8217;Euler elle-m\u00eame, constituent un <strong>syst\u00e8me d&#8217;\u00e9quations<\/strong> \u00e0 partir duquel nous pouvons isoler \u00e0 la fois les fonctions sinus et cosinus.<\/p>\n<p>Par exemple, en soustrayant l&#8217;\u00e9quation e\u2212ix de l&#8217;\u00e9quation eix, les cosinus s&#8217;annulent et apr\u00e8s division par 2i, nous obtenons la forme exponentielle complexe de la <strong>fonction sinus<\/strong> :<\/p>\n<blockquote><p>sin x = (eix \u2212 e\u2212ix) \/ (2i)<\/p><\/blockquote>\n<p>De m\u00eame, en additionnant les deux \u00e9quations, les sinus s&#8217;annulent et apr\u00e8s division par 2, nous obtenons la forme exponentielle complexe de la fonction <strong>cosinus<\/strong> :<\/p>\n<blockquote><p>cos x = (eix + e\u2212ix) \/ 2<\/p><\/blockquote>\n<p>Pour s&#8217;en assurer, voici une <strong>vid\u00e9o<\/strong> illustrant les m\u00eames d\u00e9rivations de mani\u00e8re plus d\u00e9taill\u00e9e.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LE2uwd9V5vw?start=180\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<p>D&#8217;autre part, la <strong>fonction tangente<\/strong> est d\u00e9finie comme \u00e9tant sin x \/ cos x, donc en termes d&#8217;exponentielles complexes, elle devient :<\/p>\n<blockquote><p>tan x = (eix \u2212 e\u2212ix) \/ (i(eix + e\u2212ix))<\/p><\/blockquote>\n<p>Si la formule d&#8217;Euler est prouv\u00e9e valable pour tous les nombres complexes (comme nous l&#8217;avons fait dans la <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">d\u00e9monstration par s\u00e9ries enti\u00e8res<\/a>), alors il en serait de m\u00eame pour ces trois formules. Leur pr\u00e9sence nous permet de passer librement des <strong>fonctions trigonom\u00e9triques<\/strong> aux <strong>exponentielles complexes<\/strong>, ce qui est un grand avantage lorsqu&#8217;il s&#8217;agit de calculer des d\u00e9riv\u00e9es et des int\u00e9grales. <\/p>\n<h4><span id=\"Hyperbolic_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Fonctions hyperboliques<\/h4>\n<p>En plus des fonctions trigonom\u00e9triques, les <strong>fonctions hyperboliques<\/strong> constituent une autre classe de fonctions qui peuvent \u00eatre d\u00e9finies en termes d&#8217;exponentielles complexes. En fait, c&#8217;est gr\u00e2ce \u00e0 cette connexion que nous pouvons identifier une fonction hyperbolique \u00e0 son homologue trigonom\u00e9trique. <\/p>\n<p>Par exemple, en partant du <strong>sinus complexe<\/strong> et du <strong>cosinus complexe<\/strong> et en y ins\u00e9rant iz (et en utilisant les faits que i2 = \u22121 et 1\/i = \u2212i), nous avons : sin iz = (ei(iz) \u2212 e\u2212i(iz)) \/ (2i) = (e\u2212z \u2212 ez) \/ (2i) = i(ez \u2212 e\u2212z) \/ 2 = i sinh z; cos iz = (ei(iz) + e\u2212i(iz)) \/ 2 = (ez + e\u2212z) \/ 2 = cosh z. \u00c0 partir de cela, nous pouvons \u00e9galement ins\u00e9rer iz dans la <strong>tangente complexe<\/strong> et obtenir : tan(iz) = sin iz \/ cos iz = i sinh z \/ cosh z = i tanh z. En bref, cela signifie que nous pouvons maintenant d\u00e9finir les <strong>fonctions hyperboliques<\/strong> en termes de fonctions trigonom\u00e9triques comme suit :<\/p>\n<blockquote><p>sinh z = sin iz \/ i; cosh z = cos iz; tanh z = tan iz \/ i<\/p><\/blockquote>\n<p>Cependant, ce ne sont pas les seules fonctions auxquelles nous pouvons fournir de nouvelles d\u00e9finitions. En fait, le <strong>logarithme complexe<\/strong> et l&#8217;<strong>exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale<\/strong> sont deux autres classes de fonctions que nous pouvons d\u00e9finir \u2014 r\u00e9sultant de la formule d&#8217;Euler. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Logarithme complexe et exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale<\/h3>\n<p>Le logarithme d&#8217;un nombre complexe se comporte de mani\u00e8re particuli\u00e8re par rapport au <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Logarithm_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">logarithme d&#8217;un nombre r\u00e9el<\/a>. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, il a un nombre <strong>infini<\/strong> de valeurs au lieu d&#8217;une seule. <\/p>\n<p>Pour comprendre cela, nous commen\u00e7ons par la d\u00e9finition de la <strong>fonction logarithmique<\/strong> comme l&#8217;inverse de la fonction exponentielle. C&#8217;est-\u00e0-dire : eln z = z; ln(ez) = z. De plus, nous savons \u00e9galement que pour toute paire de nombres complexes z1 et z2, la <strong>propri\u00e9t\u00e9 additive des exposants<\/strong> est valable : ez1ez2 = ez1+z2. Ainsi, lorsqu&#8217;un nombre complexe non nul est exprim\u00e9 sous forme <strong>exponentielle<\/strong>, nous avons : z = |z|ei\u03c6 = eln |z|ei\u03c6 = eln |z|+i\u03c6, o\u00f9 |z| est le module de z et \u03c6 est l&#8217;argument de z par rapport \u00e0 l&#8217;axe r\u00e9el positif. Et puisque le logarithme est simplement l&#8217;<strong>exposant<\/strong> d&#8217;un nombre lorsqu&#8217;il est \u00e9lev\u00e9 \u00e0 e, la d\u00e9finition suivante s&#8217;impose : ln z = ln |z| + i\u03c6. \u00c0 premi\u00e8re vue, cela semble \u00eatre une mani\u00e8re robuste de d\u00e9finir le logarithme complexe. Cependant, un second regard r\u00e9v\u00e8le que le logarithme ainsi d\u00e9fini peut prendre un nombre <strong>infini de valeurs<\/strong> \u2014 en raison du fait que \u03c6 peut \u00e9galement \u00eatre choisi comme n&#8217;importe quel autre nombre de la forme \u03c6 + 2\u03c0k (o\u00f9 k est un entier).   <\/p>\n<p>Par exemple, nous avons vu pr\u00e9c\u00e9demment que e0 = 1 et e2\u03c0i = 1. Cela signifie que l&#8217;on pourrait d\u00e9finir le logarithme de 1 comme \u00e9tant \u00e0 la fois 0 et 2\u03c0i \u2014 ou n&#8217;importe quel nombre de la forme 2\u03c0ki d&#8217;ailleurs (o\u00f9 k est un entier). <\/p>\n<p>Pour r\u00e9soudre ce dilemme, deux approches distinctes sont g\u00e9n\u00e9ralement employ\u00e9es. La premi\u00e8re approche consiste simplement \u00e0 consid\u00e9rer le logarithme complexe comme une <strong>fonction multivalu\u00e9e<\/strong>. C&#8217;est-\u00e0-dire, une fonction qui associe \u00e0 chaque entr\u00e9e un ensemble de valeurs. Une mani\u00e8re d&#8217;y parvenir est de d\u00e9finir ln\u2061z comme suit : {ln\u2061|z|+i(\u03d5+2\u03c0k)} o\u00f9 \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 et k est un entier. Ici, la clause \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 a pour effet de restreindre l&#8217;angle de z \u00e0 un seul candidat. De ce fait, le \u03d5 ainsi d\u00e9fini est g\u00e9n\u00e9ralement appel\u00e9 <strong>angle principal<\/strong> de z.     <\/p>\n<p>La seconde approche, qui est sans doute plus \u00e9l\u00e9gante, consiste simplement \u00e0 d\u00e9finir le logarithme complexe de z de sorte que \u03d5 soit l&#8217;angle principal de z. Avec cette compr\u00e9hension, la d\u00e9finition originale devient alors <strong>bien d\u00e9finie<\/strong> : <\/p>\n<blockquote><p>ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/p><\/blockquote>\n<p>Par exemple, selon cette nouvelle r\u00e8gle, nous aurions ln\u20611=0 et ln\u2061i=ln\u2061(ei\u03c02)=i\u03c02. Nous ne sommes plus confront\u00e9s au probl\u00e8me de la <strong>p\u00e9riodicit\u00e9 des angles<\/strong> ! <\/p>\n<p>Cependant, avec la restriction \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0, le domaine du logarithme complexe est d\u00e9sormais r\u00e9duit \u00e0 la r\u00e9gion rectangulaire \u2212\u03c0&lt;y\u2264\u03c0 (c&#8217;est-\u00e0-dire la <strong>branche principale<\/strong>). Et si nous voulons pr\u00e9server la relation inverse entre le logarithme et l&#8217;exponentielle, nous devrions \u00e9galement appliquer la m\u00eame restriction au domaine de la fonction exponentielle. <\/p>\n<p>Mais alors, puisque le logarithme complexe est maintenant bien d\u00e9fini, nous pouvons \u00e9galement d\u00e9finir de nombreuses autres choses bas\u00e9es sur celui-ci sans rencontrer d&#8217;ambigu\u00eft\u00e9. Un exemple serait <strong>l&#8217;exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale<\/strong> (avec une base a non nulle), qui peut \u00eatre d\u00e9finie comme suit : <\/p>\n<blockquote><p>az=eln\u2061(az)=dfezln\u2061a<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Note<\/p>\n<p>Ici, nous ne supposons pas que la  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Power_Rule\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>r\u00e8gle de puissance pour le logarithme<\/strong><\/a>  s&#8217;applique (car  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Properties_of_Logarithm_%E2%80%94_An_Update\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">ce n&#8217;est pas le cas<\/a>), mais que la premi\u00e8re et la derni\u00e8re expression sont \u00e9gales.<\/p>\n<\/div>\n<p>Par exemple, en utilisant l&#8217;exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale telle que d\u00e9finie ci-dessus, nous pouvons maintenant comprendre ce que signifie r\u00e9ellement ii : ii=eiln\u2061i=ei\u03c02i=e\u2212\u03c02\u22480,208<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Preuves alternatives du th\u00e9or\u00e8me de De Moivre et des identit\u00e9s trigonom\u00e9triques additives<\/h3>\n<p>Le th\u00e9or\u00e8me connu sous le nom de <strong>th\u00e9or\u00e8me de De Moivre<\/strong> \u00e9nonce que <\/p>\n<blockquote><p>(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/p><\/blockquote>\n<p>o\u00f9 x est un nombre r\u00e9el et n est un entier. Par d\u00e9faut, cela peut \u00eatre d\u00e9montr\u00e9 par <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#induction\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">r\u00e9currence<\/a> (en utilisant certaines identit\u00e9s trigonom\u00e9triques), mais gr\u00e2ce \u00e0 la <strong>formule d&#8217;Euler<\/strong>, une preuve beaucoup plus simple existe d\u00e9sormais. <\/p>\n<p>Pour commencer, rappelons que la <strong>propri\u00e9t\u00e9 multiplicative des exposants<\/strong> stipule que (ez)k=ezk Bien que cette propri\u00e9t\u00e9 ne soit g\u00e9n\u00e9ralement pas vraie pour les nombres complexes, elle s&#8217;applique dans le cas particulier o\u00f9 k est un <strong>entier<\/strong>. En effet, il n&#8217;est pas difficile de voir que dans ce cas, les math\u00e9matiques se r\u00e9duisent essentiellement \u00e0 des applications r\u00e9p\u00e9t\u00e9es de la propri\u00e9t\u00e9 additive des exposants. <\/p>\n<p>Cela \u00e9tant \u00e9tabli, nous pouvons alors facilement d\u00e9river le th\u00e9or\u00e8me de De Moivre comme suit : (cos\u2061x+isin\u2061x)n=(eix)n=einx=cos\u2061nx+isin\u2061nx En pratique, ce th\u00e9or\u00e8me est couramment utilis\u00e9 pour trouver les <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Nth_root#nth_roots\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>racines<\/strong><\/a> d&#8217;un nombre complexe, et pour obtenir des <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Closed-form_expression\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>expressions sous forme ferm\u00e9e<\/strong><\/a> pour sin\u2061nx et cos\u2061nx. Il le fait en r\u00e9duisant des fonctions \u00e9lev\u00e9es \u00e0 de hautes puissances \u00e0 de simples fonctions trigonom\u00e9triques \u2014 de sorte que les calculs puissent \u00eatre effectu\u00e9s avec facilit\u00e9. <\/p>\n<p>En fait, le th\u00e9or\u00e8me de De Moivre n&#8217;est pas le seul th\u00e9or\u00e8me dont la preuve peut \u00eatre simplifi\u00e9e gr\u00e2ce \u00e0 la formule d&#8217;Euler. D&#8217;autres identit\u00e9s, telles que les <strong>identit\u00e9s additives<\/strong> pour sin\u2061(x+y) et cos\u2061(x+y), b\u00e9n\u00e9ficient \u00e9galement de cet effet. <\/p>\n<p>En effet, nous savons d\u00e9j\u00e0 que pour tous les r\u00e9els x et y : cos\u2061(x+y)+isin\u2061(x+y)=ei(x+y)=eix\u22c5eiy=(cos\u2061x+isin\u2061x)(cos\u2061y+isin\u2061y)=(cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y)+i(sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y) Une fois l\u00e0, en \u00e9galant les parties <strong>r\u00e9elles<\/strong> et <strong>imaginaires<\/strong> des deux c\u00f4t\u00e9s, on obtient les fameuses identit\u00e9s que nous recherchions :<\/p>\n<blockquote><p>cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y sin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/p><\/blockquote>\n<h2><span id=\"Conclusion\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Conclusion<\/h2>\n<p>Comme on peut le constater ci-dessus, la <strong>formule d&#8217;Euler<\/strong> est un joyau rare dans le domaine des math\u00e9matiques. Elle \u00e9tablit la relation fondamentale entre les fonctions exponentielles et trigonom\u00e9triques, et ouvre la voie \u00e0 de nombreux d\u00e9veloppements dans le monde des nombres complexes, des fonctions complexes et de la th\u00e9orie associ\u00e9e. <\/p>\n<p>En effet, qu&#8217;il s&#8217;agisse de l&#8217;identit\u00e9 d&#8217;Euler ou du logarithme complexe, la formule d&#8217;Euler semble ne laisser aucune pierre non retourn\u00e9e lorsque des expressions telles que sin, i et e sont impliqu\u00e9es. C&#8217;est un <strong>outil puissant<\/strong> dont la ma\u00eetrise peut \u00eatre extr\u00eamement gratifiante, et pour cette raison, elle est une candidate l\u00e9gitime au titre de &#8220;<a href=\"https:\/\/www.feynmanlectures.caltech.edu\/I_22.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">formule la plus remarquable des math\u00e9matiques<\/a>&#8220;. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-table\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Description<\/th>\n<th>\u00c9nonc\u00e9<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Formule d&#8217;Euler<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identit\u00e9 d&#8217;Euler<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ei\u03c0+1=0<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Nombre complexe<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">z=rei\u03b8<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Exponentielle complexe<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ex+iy=ex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Sinus<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sin\u2061x=eix\u2212e\u2212ix2i<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Cosinus<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cos\u2061x=eix+e\u2212ix2<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Tangente<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">tan\u2061x=eix\u2212e\u2212ixi(eix+e\u2212ix)<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Sinus hyperbolique<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sinh\u2061z=sin\u2061izi<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Cosinus hyperbolique<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cosh\u2061z=cos\u2061iz<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Tangente hyperbolique<\/ci> (forme exponentielle)<\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">tanh\u2061z=tan\u2061izi<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Logarithme complexe<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Exponentielle complexe g\u00e9n\u00e9rale<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">az=ezln\u2061a<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Th\u00e9or\u00e8me de De Moivre<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identit\u00e9 additive du sinus<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">sin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<tr>\n<ci id=\"gid_0\"><ci id=\"gid_1\">Identit\u00e9 additive du cosinus<\/ci><\/ci><cx id=\"gid_2\"><\/cx><ci id=\"gid_3\">cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y<\/ci><br \/>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<div class=\"wp-container-2 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Couverture du guide \u00e9lectronique de la formule d'Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"Couverture du livre \u00e9lectronique \u00ab Le guide complet de la formule d'Euler \u00bb\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Sources\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Sources<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Mathematics-Physicists-Susan-Lea\/dp\/0534379974\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Math\u00e9matiques pour physiciens (Susan M. Lea)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Cambridge-Handbook-Physics-Formulas\/dp\/0521575079\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Manuel de Cambridge des formules de physique (Graham Woan)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dans le domaine des nombres complexes, lorsque nous int\u00e9grons des expressions trigonom\u00e9triques, nous rencontrerons probablement la d\u00e9nomm\u00e9e formule d&#8217;Euler. Nomm\u00e9e d&#8217;apr\u00e8s le math\u00e9maticien l\u00e9gendaire Leonhard Euler, cette puissante \u00e9quation m\u00e9rite un examen plus approfondi \u2014 afin que nous puissions l&#8217;utiliser \u00e0 son plein potentiel. 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