{"id":60550,"date":"2023-01-06T04:16:48","date_gmt":"2023-01-06T04:16:48","guid":{"rendered":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/"},"modified":"2023-01-06T04:16:48","modified_gmt":"2023-01-06T04:16:48","slug":"over-de-formule-van-euler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/over-de-formule-van-euler\/","title":{"rendered":"Over de formule van Euler"},"content":{"rendered":"<p>In de wereld van complexe getallen, als we trigonometrische uitdrukkingen integreren, komen we waarschijnlijk de zogenaamde <strong>formule van Euler<\/strong> tegen.<\/p>\n<p>Vernoemd naar de legendarische wiskundige <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Leonhard_Euler\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Leonhard Euler<\/a>, verdient deze krachtige vergelijking een nadere beschouwing \u2014 zodat we &#8216;m optimaal kunnen gebruiken.<\/p>\n<p><iframe title=\"Euler&#039;s formula with introductory group theory\" width=\"800\" height=\"450\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mvmuCPvRoWQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>We gaan kijken hoe de formule van Euler ons in staat stelt om complexe getallen uit te drukken als <strong>exponenti\u00eblen<\/strong>, en we verkennen de verschillende manieren waarop het relatief eenvoudig kan worden vastgesteld.<\/p>\n<p>Daarnaast zullen we ook kijken naar verschillende <strong>toepassingen<\/strong> zoals het specifieke geval van Eulers identiteit, de exponenti\u00eble vorm van complexe getallen, alternatieve definities van belangrijke functies, en alternatieve bewijzen van <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/De_Moivre%27s_formula\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">de stelling van de Moivre<\/a> en <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/List_of_trigonometric_identities#Angle_sum_and_difference_identities\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">trigonometrische optelformules<\/a>.<\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Let op<\/p>\n<p>Deze formule van Euler moet onderscheiden worden van andere formules van Euler, zoals die voor  <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Euler_characteristic#Polyhedra\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>convexe veelvlakken<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-container-1 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Omslag e-book Gids Formule van Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"E-book omslag van De Complete Gids voor de Formule van Euler\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<p>Liever de PDF-versie?<\/p>\n<p>Download onze complete, 22 pagina&#8217;s tellende gids over de formule van Euler \u2014 in offline, afdrukbaar <strong>PDF-formaat<\/strong>.<\/p>\n<div class=\"wp-block-button aligncenter\"><a class=\"wp-block-button__link has-text-color has-background\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\">Ja, graag. <\/a><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><img decoding=\"async\" title=\"Diagram formule van Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Euler-formula-diagram.png?x30583\" alt=\"Diagram ter illustratie van de formule van Euler voor complexe getallen\" width=\"900\" height=\"572\"><\/p>\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_33_2 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\">Inhoudsopgave<\/p>\n<p><span class=\"ez-toc-title-toggle\"><a class=\"ez-toc-pull-right ez-toc-btn ez-toc-btn-xs ez-toc-btn-default ez-toc-toggle\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#\"><label for=\"item\" aria-label=\"Table of Content\"><i class=\"ez-toc-glyphicon ez-toc-icon-toggle\"><\/i><\/label><input id=\"item\" type=\"checkbox\"><\/a><\/span><\/div>\n<nav>\n<ul class=\"ez-toc-list ez-toc-list-level-1\">\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" title=\"De formule van Euler uitgelegd: Introductie, interpretatie en voorbeelden\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\">De formule van Euler uitgelegd: Introductie, interpretatie en voorbeelden<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" title=\"Afleidingen\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivations\">Afleidingen<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" title=\"Afleiding 1: Machtreeksen\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">Afleiding 1: Machtreeksen<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" title=\"Afleiding 2: Calculus\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_2_Calculus\">Afleiding 2: Calculus<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" title=\"Afleiding 3: Poolco\u00f6rdinaten\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_3_Polar_Coordinates\">Afleiding 3: Poolco\u00f6rdinaten<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" title=\"Toepassingen\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Applications\">Toepassingen<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-3\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" title=\"De identiteit van Euler\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Eulers_Identity\">De identiteit van Euler<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" title=\"Complexe getallen in exponenti\u00eble vorm\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Numbers_in_Exponential_Form\">Complexe getallen in exponenti\u00eble vorm<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" title=\"Alternatieve definities van belangrijke functies\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Definitions_of_Key_Functions\">Alternatieve definities van belangrijke functies<\/a>\n<ul class=\"ez-toc-list-level-4\">\n<li class=\"ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" title=\"Complexe exponenti\u00eble functie\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Exponential_Function\">Complexe exponenti\u00eble functie<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-11\" title=\"Trigonometrische functies\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Trigonometric_Functions\">Trigonometrische functies<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-4\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-12\" title=\"Hyperbolische functies\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Hyperbolic_Functions\">Hyperbolische functies<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-13\" title=\"Complexe logaritme en algemene complexe exponentieel\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\">Complexe logaritme en algemene complexe exponentieel<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-14\" title=\"Alternatieve bewijzen van De stelling van De Moivre en trigonometrische optelformules\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\">Alternatieve bewijzen van De stelling van De Moivre en trigonometrische optelformules<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-15\" title=\"Conclusie\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Conclusion\">Conclusie<\/a><\/li>\n<li class=\"ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2\"><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-16\" title=\"Bronnen\" href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Sources\">Bronnen<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/nav>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Eulers_Formula_Explained_Introduction_Interpretation_and_Examples\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>De formule van Euler uitgelegd: Introductie, interpretatie en voorbeelden<\/h2>\n<p>Dus wat is <strong>de formule van Euler<\/strong> precies? Kort gezegd is het de stelling die stelt dat <\/p>\n<blockquote><p>eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/p><\/blockquote>\n<p>waarbij:<\/p>\n<ul>\n<li>x een <strong>re\u00ebel getal<\/strong> is.<\/li>\n<li>e het <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>grondgetal van de natuurlijke logaritme<\/strong><\/a> is.<\/li>\n<li>i de <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>imaginaire eenheid<\/strong><\/a> is (oftewel de vierkantswortel van \u22121).<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Let op<\/p>\n<p>In deze formule wordt de rechterkant soms afgekort als cis\u2061x, hoewel de linkerkant eix meestal de voorkeur heeft boven de cis-notatie.<\/p>\n<\/div>\n<p>De formule van Euler legt de fundamentele relatie vast tussen <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/geometry-trigonometry-symbols\/#Trigonometric_Functions\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>trigonometrische functies<\/strong><\/a> en <strong>exponenti\u00eble functies<\/strong>. Geometrisch kan het worden gezien als een manier om twee representaties van hetzelfde complexe eenheidsgetal in het complexe vlak te overbruggen. <\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar enkele <strong>belangrijke waarden<\/strong> van de formule van Euler, en zien hoe ze overeenkomen met punten in de trigonometrische cirkel\/eenheidscirkel:<\/p>\n<ul>\n<li>Voor x=0 hebben we e0=cos\u20610+isin\u20610, wat 1=1 oplevert. Tot zover goed: we weten dat een hoek van 0 op de trigonometrische cirkel 1 is op de re\u00eble as, en dat is wat we hier krijgen. <\/li>\n<li>Voor x=1 hebben we ei=cos\u20611+isin\u20611. Dit resultaat suggereert dat ei precies het punt op de eenheidscirkel is waarvan de hoek <strong>1 radiaal<\/strong> is. <\/li>\n<li>Voor x=\u03c02 hebben we ei\u03c02=cos\u2061\u03c02+isin\u2061\u03c02=i. Dit resultaat is nuttig bij sommige berekeningen die gerelateerd zijn aan natuurkunde. <\/li>\n<li>Voor x=\u03c0 hebben we ei\u03c0=cos\u2061\u03c0+isin\u2061\u03c0, wat betekent dat ei\u03c0=\u22121. Dit resultaat is equivalent aan de beroemde <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Euler%E2%80%99s_Identity\"><strong>identiteit van Euler<\/strong><\/a>. <\/li>\n<li>Voor x=2\u03c0 hebben we ei(2\u03c0)=cos\u20612\u03c0+isin\u20612\u03c0, wat betekent dat ei(2\u03c0)=1, hetzelfde als bij x=0.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Een belangrijke sleutel om Euler&#8217;s formule te snappen, is om &#8216;m als volgt te herschrijven:(ei)x=cos\u2061x+isin\u2061xwaar:<\/p>\n<ul>\n<li>De rechterkant kan je zien als het <strong>complexe getal met lengte 1<\/strong> en hoek x.<\/li>\n<li>De linkerkant kan je zien als het <strong>complexe getal met lengte 1 en hoek 1 radiaal<\/strong> tot de macht x.<\/li>\n<\/ul>\n<p>En aangezien een complex getal met lengte 1 tot een macht verheffen gezien kan worden als <strong>herhaaldelijk vermenigvuldigen<\/strong> (oftewel, hoeken optellen in dit geval), kan Euler&#8217;s formule gezien worden als twee verschillende manieren om rond de eenheidscirkel te lopen en op hetzelfde punt uit te komen.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/v1nugr08y5?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h2><span id=\"Derivations\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Afleidingen<\/h2>\n<p>Euler&#8217;s formule kan op minstens drie manieren worden afgeleid. De eerste afleiding is gebaseerd op <strong>machtreeksen<\/strong>, waarbij de exponenti\u00eble, sinus en cosinus functies worden uitgeschreven als machtreeksen om te concluderen dat de formule inderdaad klopt. <\/p>\n<p>De tweede afleiding van Euler&#8217;s formule is gebaseerd op <strong>calculus<\/strong>, waarbij beide kanten van de vergelijking als functies worden behandeld en dienovereenkomstig worden gedifferentieerd. Dit leidt dan tot de identificatie van een gemeenschappelijke eigenschap &#8211; eentje die kan worden gebruikt om aan te tonen dat beide functies inderdaad gelijk zijn. <\/p>\n<p>Nog een andere afleiding van Euler&#8217;s formule maakt gebruik van <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Polar_coordinate_system#Complex_numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>poolco\u00f6rdinaten<\/strong><\/a> in het complexe vlak, waardoor de waarden van r en \u03b8 vervolgens worden gevonden. Sterker nog, je kunt misschien wel raden wat deze waarden zijn &#8211; gewoon door naar de formule zelf te kijken! <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_1_Power_Series\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Afleiding 1: Machtreeksen<\/h3>\n<p>Een van de meest intu\u00eftieve afleidingen van Euler&#8217;s formule maakt gebruik van <strong>machtreeksen<\/strong>. Het bestaat uit het uitbreiden van de machtreeksen van exponentieel, sinus en cosinus &#8211; om uiteindelijk te concluderen dat de gelijkheid geldt. <\/p>\n<p>Als kanttekening, deze aanpak gaat ervan uit dat de machtreeksuitbreidingen van sin\u2061z, cos\u2061z, en ez <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Absolute_convergence\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>absoluut convergent<\/strong><\/a> zijn overal (bijvoorbeeld dat ze gelden voor alle complexe getallen z). Het heeft echter ook het voordeel dat het laat zien dat Euler&#8217;s formule ook geldt voor alle complexe getallen z. <\/p>\n<p>Voor een complexe variabele z is de <strong>machtreeksuitbreiding<\/strong> van ez:ez=1+z1!+z22!+z33!+z44!+\u22efLaten we nu z nemen als ix (waarbij x een <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#arbitrary\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">willekeurig<\/a> complex getal is). Als z tot hogere machten wordt verheven, wordt i ook tot hogere machten verheven. De <strong>eerste acht machten<\/strong> van i zien er zo uit:(volgens de definitie van )i0=1i4=i2\u22c5i2=1i1=ii5=i\u22c5i4=ii2=\u22121(volgens de definitie van i)i6=i\u22c5i5=\u22121i3=i\u22c5i2=\u2212ii7=i\u22c5i6=\u2212i(merk de <strong>cyclische aard<\/strong> van de machten van i op: 1, i, \u22121, \u2212i. We zullen deze machten zo meteen gebruiken.)   <\/p>\n<p>Met z=ix wordt de uitbreiding van ez:eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+\u22efAls we de machten van i eruit halen, krijgen we:eix=1+ix\u2212x22!\u2212ix33!+x44!+ix55!\u2212x66!\u2212ix77!+x88!+\u22efEn aangezien de machtreeksuitbreiding van ez absoluut convergent is, kunnen we de termen herschikken zonder de waarde te veranderen. Als we de  <strong>re\u00eble<\/strong>  en  <strong>imaginaire termen<\/strong>  groeperen, krijgen we:eix=(1\u2212x22!+x44!\u2212x66!+x88!\u2212\u22ef)+i(x\u2212x33!+x55!\u2212x77!+\u22ef)Laten we nu even kijken naar de machtreeksen van  <strong>sinus<\/strong>  en  <strong>cosinus<\/strong>. De machtreeks van cos\u2061x is:cos\u2061x=1\u2212x22!+x44!\u2212x66!+x88!\u2212\u22efEn voor sin\u2061x is het:sin\u2061x=x\u2212x33!+x55!\u2212x77!+\u22efMet andere woorden, de laatste vergelijking die we hadden is precies:eix=cos\u2061x+isin\u2061xwat de uitspraak van Euler&#8217;s formule is die we zochten.<\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_2_Calculus\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Afleiding 2: Calculus<\/h3>\n<p>Een andere nette manier om Euler&#8217;s formule vast te stellen, is door zowel eix als cos\u2061x+isin\u2061x te beschouwen als <strong>functies<\/strong> van x, voordat we ze differenti\u00ebren om een gemeenschappelijke eigenschap over hen te vinden.<\/p>\n<p>Daarvoor moeten we wel aannemen dat de functies ez, cos\u2061x en sin\u2061x gedefinieerd en <strong>differentieerbaar<\/strong> zijn voor alle re\u00eble getallen x en complexe getallen z. Door aan te nemen dat deze functies differentieerbaar zijn voor alle complexe getallen, is het ook mogelijk om aan te tonen dat Euler&#8217;s formule geldt voor alle complexe getallen. <\/p>\n<p>Ok\u00e9, luister eens even. Laten we f1(x) en f2(x) respectievelijk eix en cos\u2061x+isin\u2061x noemen. Als we f1 <strong>differenti\u00ebren<\/strong> met de <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/chain-rule-derivative\/#Chain_Rule_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">kettingregel<\/a>, krijgen we: f1\u2032(x)=ieix=if1(x). En als we f2 differenti\u00ebren, krijgen we ook: f2\u2032(x)=\u2212sin\u2061x+icos\u2061x=if2(x). Beide functies voldoen dus aan de differentiaalvergelijking f\u2032(x)=if(x). Nou, kijk eens naar de functie f1\/f2. Die is <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#welldefined\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">goed gedefinieerd<\/a> voor alle x (want f2(x)=cos\u2061x+isin\u2061x zijn punten op de eenheidscirkel, die nooit nul zijn). Als we de <strong>quoti\u00ebntregel<\/strong> hierop loslaten, krijgen we: (f1\/f2)\u2032(x)=(f1\u2032(x)f2(x)\u2212f1(x)f2\u2032(x))\/[f2(x)]2=(if1(x)f2(x)\u2212f1(x)if2(x))\/[f2(x)]2=0. Omdat de afgeleide nul is, moet f1\/f2 een <strong>constante<\/strong> zijn. Welke waarde heeft die constante? Laten we x=0 invullen: (f1\/f2)(0)=ei0\/(cos\u20610+isin\u20610)=1. Dus voor alle x geldt: (f1\/f2)(x)=eix\/(cos\u2061x+isin\u2061x)=1. En dat is precies de formule die we zochten!    <\/p>\n<h3><span id=\"Derivation_3_Polar_Coordinates\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Afleiding 3: Poolco\u00f6rdinaten<\/h3>\n<p>Joh, er is nog een superslimme manier om Euler&#8217;s formule te bewijzen. We gaan exponenten behandelen als getallen, of beter gezegd, als complexe getallen in <strong>poolco\u00f6rdinaten<\/strong>.<\/p>\n<p>Kijk, we weten al dat alle niet-nul complexe getallen op een unieke manier in <strong>poolco\u00f6rdinaten<\/strong> kunnen worden uitgedrukt. Vooral getallen in de vorm eix (met x re\u00ebel) kunnen we schrijven als: eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8). Hierbij is \u03b8 de <strong>hoofdhoek<\/strong> vanaf de positieve re\u00eble as (zeg maar 0\u2264\u03b8&lt;2\u03c0), en r is de <strong>straal<\/strong> (met r&gt;0). We nemen niks aan over de waarden van r en \u03b8, behalve dat ze functies van x zijn. We komen er vanzelf achter wat ze precies zijn.   <\/p>\n<p>(Maar hey, we weten wel dat als x=0, de linkerkant 1 is. Dat betekent dat r en \u03b8 moeten voldoen aan de <strong>beginvoorwaarden<\/strong> r(0)=1 en \u03b8(0)=0.)<\/p>\n<p>Ok\u00e9, laten we beginnen met het <strong>differenti\u00ebren<\/strong> van beide kanten van de vergelijking. De linkerkant wordt ieix. Na het differenti\u00ebren van de rechterkant krijgen we: ieix=dr\/dx(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. We willen alles uitdrukken in r en \u03b8. Om van eix af te komen, vervangen we het door r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8): ir(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)dr\/dx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. Als we de i links uitdelen, krijgen we: r(icos\u2061\u03b8\u2212sin\u2061\u03b8)=(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)dr\/dx+r(\u2212sin\u2061\u03b8+icos\u2061\u03b8)d\u03b8\/dx. Als we de    <strong>imaginaire<\/strong>  en  <strong>re\u00eble delen<\/strong>gelijkstellen, krijgen we: ircos\u2061\u03b8=isin\u2061\u03b8dr\/dx+ircos\u2061\u03b8d\u03b8\/dx en \u2212rsin\u2061\u03b8=cos\u2061\u03b8dr\/dx\u2212rsin\u2061\u03b8d\u03b8\/dx. We hebben nu een <strong>systeem<\/strong> van twee vergelijkingen met twee onbekenden, waarbij dr\/dx en d\u03b8\/dx de variabelen zijn. We lossen dit op in een paar stappen. Eerst noemen we dr\/dx \u03b1 en d\u03b8\/dx \u03b2: (I) rcos\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos\u2061\u03b8)\u03b2, (II) \u2212rsin\u2061\u03b8=(cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin\u2061\u03b8)\u03b2. Dan vermenigvuldigen we (I) met cos\u2061\u03b8 en (II) met sin\u2061\u03b8: (III) rcos2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1+(rcos2\u2061\u03b8)\u03b2, (IV) \u2212rsin2\u2061\u03b8=(sin\u2061\u03b8cos\u2061\u03b8)\u03b1\u2212(rsin2\u2061\u03b8)\u03b2. We doen dit om \u03b1 weg te werken door (III) &#8211; (IV) te doen. Dan krijgen we: r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)=r(cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8)\u03b2. Omdat cos2\u2061\u03b8+sin2\u2061\u03b8=1, wordt het simpeler: r=r\u03b2. En omdat r&gt;nooit nul is, betekent dit dat \u03b2 &#8211; wat we hadden gezet als d\u03b8\/dx &#8211; gelijk is aan 1.<\/p>\n<p>Als we dit resultaat terugzetten in (I) en (II) en wat dingen wegstrepen, krijgen we: 0=(sin\u2061\u03b8)\u03b1 en 0=(cos\u2061\u03b8)\u03b1. Dat betekent dat \u03b1 &#8211; wat we hadden gezet als dr\/dx &#8211; gelijk moet zijn aan 0.  <\/p>\n<p>Omdat dr\/dx=0, kunnen we concluderen dat r een <strong>constante<\/strong> moet zijn. En omdat d\u03b8\/dx=1, kunnen we concluderen dat \u03b8=x+C voor een of andere constante C. <\/p>\n<p>Maar omdat r voldoet aan de <strong>beginvoorwaarde<\/strong> r(0)=1, moet r=1 zijn. En omdat \u03b8 voldoet aan de beginvoorwaarde \u03b8(0)=0, moet C=0 zijn. Dus \u03b8=x.  <\/p>\n<p>Nu we r en \u03b8 hebben gevonden, kunnen we ze in de oorspronkelijke vergelijking zetten: eix=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=cos\u2061x+isin\u2061x. En dat is precies Euler&#8217;s formule voor re\u00eble getallen x!<\/p>\n<h2><span id=\"Applications\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Toepassingen<\/h2>\n<p>Euler&#8217;s formule is een van de belangrijkste vergelijkingen in de wiskunde, dus je kunt er van op aan dat er een hoop interessante <strong>toepassingen<\/strong> zijn in verschillende onderwerpen. Bijvoorbeeld: <\/p>\n<ul>\n<li>De beroemde <strong>identiteit van Euler<\/strong><\/li>\n<li>De <strong>exponenti\u00eble vorm<\/strong> van complexe getallen<\/li>\n<li>Alternatieve definities van <strong>goniometrische<\/strong> en <strong>hyperbolische functies<\/strong><\/li>\n<li>Generalisatie van <strong>exponenti\u00eble<\/strong> en <strong>logaritmische functies<\/strong> naar complexe getallen<\/li>\n<li>Andere bewijzen van <strong>de stelling van de Moivre<\/strong> en <strong>trigonometrische optelformules<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<h3><span id=\"Eulers_Identity\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>De identiteit van Euler<\/h3>\n<p>De identiteit van Euler wordt vaak beschouwd als de mooiste vergelijking in de wiskunde. Het wordt geschreven als <\/p>\n<blockquote><p>ei\u03c0+1=0<\/p><\/blockquote>\n<p>waar het vijf van de belangrijkste <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/#Key_Mathematical_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>constanten<\/strong><\/a> in de wiskunde laat zien. Dit zijn: <\/p>\n<ul>\n<li>De <strong>additieve identiteit<\/strong> 0<\/li>\n<li>De <strong>eenheid<\/strong> 1<\/li>\n<li>De <strong>Pi-constante<\/strong> \u03c0 (verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter)<\/li>\n<li>Het <strong>grondgetal van de natuurlijke logaritme<\/strong> e<\/li>\n<li>De <strong>imaginaire eenheid<\/strong> i<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hieronder zijn drie <strong>soorten getallen<\/strong> vertegenwoordigd: gehele getallen, irrationale getallen en imaginaire getallen. Ook drie van de basis <strong>wiskundige bewerkingen<\/strong> zijn vertegenwoordigd: optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen. <\/p>\n<p>We krijgen Euler&#8217;s identiteit door te beginnen met Euler&#8217;s formule eix=cos\u2061x+isin\u2061x en door x=\u03c0 te stellen en vervolgens de \u22121 naar de linkerkant te brengen. De tussenformule ei\u03c0=\u22121 is gebruikelijk in de context van de <strong>trigonometrische eenheidscirkel<\/strong> in het complexe vlak: het komt overeen met het punt op de eenheidscirkel waarvan de hoek met de positieve re\u00eble as \u03c0 is. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Numbers_in_Exponential_Form\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Complexe getallen in exponenti\u00eble vorm<\/h3>\n<p>Op dit punt weten we al dat een complex getal z kan worden uitgedrukt in <strong>Cartesiaanse co\u00f6rdinaten<\/strong> als x+iy, waarbij x en y respectievelijk het re\u00eble deel en het imaginaire deel van z zijn.<\/p>\n<p>Inderdaad, hetzelfde complexe getal kan ook worden uitgedrukt in <strong>poolco\u00f6rdinaten<\/strong> als r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8), waarbij r de grootte van de afstand tot de oorsprong is, en \u03b8 de hoek ten opzichte van de positieve re\u00eble as.<\/p>\n<p>Maar daar houdt het niet op: dankzij de formule van Euler kan elk complex getal nu worden uitgedrukt als een <strong>complexe exponenti\u00eble<\/strong> als volgt:<\/p>\n<blockquote><p>z=r(cos\u2061\u03b8+isin\u2061\u03b8)=rei\u03b8<\/p><\/blockquote>\n<p>waarbij r en \u03b8 dezelfde getallen zijn als hiervoor.<\/p>\n<p>Om van (x,y) naar (r,\u03b8) te gaan, gebruiken we de formules r=x2+y2 \u03b8=atan2\u2061(y,x) (waarbij atan2\u2061(y,x) de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Atan2\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>tweevoudige arctangens functie<\/strong><\/a> is met atan2\u2061(y,x)=arctan\u2061(yx) wanneer x&gt;0.)<\/p>\n<p>Omgekeerd, om van (r,\u03b8) naar (x,y) te gaan, gebruiken we de formules: x=rcos\u2061\u03b8 y=rsin\u2061\u03b8 De exponenti\u00eble vorm van complexe getallen maakt het ook veel makkelijker om complexe getallen te <strong>vermenigvuldigen<\/strong> &#8211; net zoals rechthoekige co\u00f6rdinaten optellen makkelijker maken. Bijvoorbeeld, gegeven twee complexe getallen z1=r1ei\u03b81 en z2=r2ei\u03b82, kunnen we ze nu als volgt vermenigvuldigen: z1z2=r1ei\u03b81\u22c5r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81+\u03b82) In dezelfde geest kunnen we deze twee getallen ook <strong>delen<\/strong> als volgt: z1z2=r1ei\u03b81r2ei\u03b82=r1r2ei(\u03b81\u2212\u03b82) <\/p>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Opmerking<\/p>\n<p>Dit veronderstelt wel  <strong>eigenschappen van exponenten<\/strong>  zoals ez1+z2=ez1ez2 en e\u2212z1=1ez1, die bijvoorbeeld kunnen worden vastgesteld door de machtreeksen van ez1, e\u2212z1 en ez2 uit te breiden.<\/p>\n<\/div>\n<p>Als we in plaats daarvan de rechthoekige x+iy notatie hadden gebruikt, zou dezelfde deling vereist hebben dat we met de <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/hub\/higher-math\/math-symbols\/algebra-symbols\/#Operators_Related_to_Complex_Numbers\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>complex geconjugeerde<\/strong><\/a> in de teller en noemer vermenigvuldigen. Met de poolco\u00f6rdinaten zou de situatie hetzelfde zijn geweest (misschien zelfs erger). <\/p>\n<p>Als er iets is, maakt de <strong>exponenti\u00eble vorm<\/strong> het zeker makkelijker om te zien dat het vermenigvuldigen van twee complexe getallen eigenlijk hetzelfde is als het vermenigvuldigen van grootten en het optellen van hoeken, en dat het delen van twee complexe getallen eigenlijk hetzelfde is als het delen van grootten en het aftrekken van hoeken.<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Definitions_of_Key_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Alternatieve definities van sleutelfuncties<\/h3>\n<p>De formule van Euler kan ook worden gebruikt om alternatieve definities te geven voor <strong>sleutelfuncties<\/strong> zoals de complexe exponenti\u00eble functie, trigonometrische functies zoals sinus, cosinus en tangens, en hun hyperbolische tegenhangers. Het kan ook worden gebruikt om de relatie tussen sommige van deze functies vast te stellen. <\/p>\n<h4><span id=\"Complex_Exponential_Function\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Complexe exponenti\u00eble functie<\/h4>\n<p>Laten we beginnen met de herinnering dat de formule van Euler stelt dat eix=cos\u2061x+isin\u2061x Als we aannemen dat de formule alleen geldt voor re\u00eble x, dan is de exponenti\u00eble functie alleen gedefinieerd tot de <strong>imaginaire getallen<\/strong>. We kunnen de exponenti\u00eble functie echter ook uitbreiden om alle complexe getallen te omvatten &#8211; door een heel simpele truc te volgen: <\/p>\n<blockquote><p>ez=ex+iy(=exeiy)=dfex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Opmerking<\/p>\n<p>Hier nemen we niet noodzakelijk aan dat de  <strong>optellingseigenschap voor exponenten<\/strong>  geldt (wat het wel doet), maar dat de eerste en de laatste uitdrukking gelijk zijn.<\/p>\n<\/div>\n<p>Met andere woorden, de exponenti\u00eble functie van het complexe getal x+iy is gewoon het complexe getal waarvan de <strong>grootte<\/strong> ex is en waarvan de <strong>hoek<\/strong> y is. Grappig genoeg betekent dit dat de complexe exponenti\u00eble functie verticale lijnen eigenlijk afbeeldt op cirkels. Hier is een animatie om het punt te illustreren:  <\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.desmos.com\/calculator\/hntpdkicjn?embed\" frameborder=\"0\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<h4><span id=\"Trigonometric_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Goniometrische functies<\/h4>\n<p>Naast het uitbreiden van het domein van de exponenti\u00eble functie, kunnen we de formule van Euler ook gebruiken om een vergelijkbare vergelijking af te leiden voor de <strong>tegenovergestelde hoek<\/strong> \u2212x:e\u2212ix=cos\u2061x\u2212isin\u2061x Deze vergelijking, samen met de formule van Euler zelf, vormt een <strong>stelsel vergelijkingen<\/strong> waaruit we zowel de sinus- als de cosinusfunctie kunnen isoleren.<\/p>\n<p>Als we bijvoorbeeld de e\u2212ix-vergelijking aftrekken van de eix-vergelijking, vallen de cosinussen tegen elkaar weg en na delen door 2i krijgen we de complexe exponenti\u00eble vorm van de <strong>sinusfunctie<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>sin\u2061x=eix\u2212e\u2212ix2i<\/p><\/blockquote>\n<p>Op dezelfde manier, door de twee vergelijkingen bij elkaar op te tellen, vallen de sinussen tegen elkaar weg en na delen door 2 krijgen we de complexe exponenti\u00eble vorm van de <strong>cosinusfunctie<\/strong>:<\/p>\n<blockquote><p>cos\u2061x=eix+e\u2212ix2<\/p><\/blockquote>\n<p>Om het zeker te weten, hier is een <strong>video<\/strong> die dezelfde afleidingen in meer detail laat zien.<\/p>\n<div><iframe class=\"iframe\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/LE2uwd9V5vw?start=180\" data-mce-fragment=\"1\"><\/iframe><\/div>\n<p>Aan de andere kant wordt de <strong>tangensfunctie<\/strong> gedefinieerd als sin\u2061xcos\u2061x, dus in termen van complexe exponenti\u00eble functies wordt het:<\/p>\n<blockquote><p>tan\u2061x=eix\u2212e\u2212ixi(eix+e\u2212ix)<\/p><\/blockquote>\n<p>Als bewezen is dat de formule van Euler geldt voor alle complexe getallen (zoals we deden in het <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/euler-formula\/#Derivation_1_Power_Series\">bewijs via machtreeksen<\/a>), dan zou hetzelfde gelden voor deze drie formules. Hun aanwezigheid stelt ons in staat om vrijelijk te schakelen tussen <strong>goniometrische functies<\/strong> en <strong>complexe exponenti\u00eble functies<\/strong>, wat een groot pluspunt is als het gaat om het berekenen van afgeleiden en integralen. <\/p>\n<h4><span id=\"Hyperbolic_Functions\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Hyperbolische functies<\/h4>\n<p>Naast goniometrische functies zijn <strong>hyperbolische functies<\/strong> nog een klasse van functies die kunnen worden gedefinieerd in termen van complexe exponenti\u00eble functies. Het is eigenlijk door deze connectie dat we een hyperbolische functie kunnen identificeren met zijn goniometrische tegenhanger. <\/p>\n<p>Als we bijvoorbeeld beginnen met <strong>complexe sinus<\/strong> en <strong>complexe cosinus<\/strong> en iz invullen (en gebruik maken van de feiten dat i2=\u22121 en 1\/i=\u2212i), krijgen we:sin\u2061iz=ei(iz)\u2212e\u2212i(iz)2i=e\u2212z\u2212ez2i=i(ez\u2212e\u2212z2)=isinh\u2061zcos\u2061iz=ei(iz)+e\u2212i(iz)2=ez+e\u2212z2=cosh\u2061zHieruit kunnen we ook iz invullen in <strong>complexe tangens<\/strong> en krijgen:tan\u2061(iz)=sin\u2061izcos\u2061iz=isinh\u2061zcosh\u2061z=itanh\u2061zKortom, dit betekent dat we nu <strong>hyperbolische functies<\/strong> kunnen defini\u00ebren in termen van goniometrische functies als volgt:<\/p>\n<blockquote><p>sinh\u2061z=sin\u2061izicosh\u2061z=cos\u2061iztanh\u2061z=tan\u2061izi<\/p><\/blockquote>\n<p>Maar dit zijn niet de enige functies waaraan we nieuwe definities kunnen geven. In feite zijn de <strong>complexe logaritme<\/strong> en de <strong>algemene complexe exponenti\u00eble functie<\/strong> twee andere klassen van functies die we kunnen defini\u00ebren &#8211; als gevolg van de formule van Euler. <\/p>\n<h3><span id=\"Complex_Logarithm_and_General_Complex_Exponential\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Complexe logaritme en algemene complexe exponenti\u00eble functie<\/h3>\n<p>De logaritme van een complex getal gedraagt zich op een bijzondere manier in vergelijking met de <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Logarithm_%E2%80%94_A_Review\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">logaritme van een re\u00ebel getal<\/a>. Meer specifiek heeft het een <strong>oneindig<\/strong> aantal waarden in plaats van \u00e9\u00e9n. <\/p>\n<p>Om te zien hoe, beginnen we met de definitie van de <strong>logaritmische functie<\/strong> als de inverse van de exponenti\u00eble functie. Dat wil zeggen:eln\u2061z=zln\u2061(ez)=zVerder weten we ook dat voor elk paar complexe getallen z1 en z2 de <strong>optellingseigenschap voor exponenten<\/strong> geldt:ez1ez2=ez1+z2Dus, wanneer een niet-nul complex getal wordt uitgedrukt als een <strong>exponenti\u00eble functie<\/strong>, hebben we:z=|z|ei\u03d5=eln\u2061|z|ei\u03d5=eln\u2061|z|+i\u03d5waarbij |z| de grootte van z is en \u03d5 de hoek van z ten opzichte van de positieve re\u00eble as. En aangezien logaritme simpelweg de <strong>exponent<\/strong> is van een getal wanneer het tot de macht e wordt verheven, is de volgende definitie op zijn plaats:ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5Op het eerste gezicht lijkt dit een robuuste manier om de complexe logaritme te defini\u00ebren. Een tweede blik onthult echter dat de logaritme op deze manier gedefinieerd een <strong>oneindig aantal waarden<\/strong> kan aannemen &#8211; vanwege het feit dat \u03d5 ook kan worden gekozen als elk ander getal van de vorm \u03d5+2\u03c0k (waarbij k een geheel getal is).   <\/p>\n<p>We hebben bijvoorbeeld eerder gezien dat e0=1 en e2\u03c0i=1. Dit betekent dat men de logaritme van 1 zou kunnen defini\u00ebren als zowel 0 als 2\u03c0i &#8211; of elk getal van de vorm 2\u03c0ki (waarbij k een geheel getal is). <\/p>\n<p>Om dit raadsel op te lossen, worden meestal twee aparte aanpakken gebruikt. De eerste aanpak is om de complexe logaritme simpelweg te beschouwen als een <strong>meerwaardige functie<\/strong>. Dat wil zeggen, een functie die elke input koppelt aan een set waarden. \u00c9\u00e9n manier om dit te bereiken is door ln\u2061z als volgt te defini\u00ebren:{ln\u2061|z|+i(\u03d5+2\u03c0k)}waar \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 en k een geheel getal is. Hier zorgt de voorwaarde \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0 ervoor dat de hoek van z beperkt wordt tot slechts \u00e9\u00e9n kandidaat. Daarom wordt de \u03d5 die op deze manier gedefinieerd is meestal de <strong>hoofdhoek<\/strong> van z genoemd.     <\/p>\n<p>De tweede aanpak, die je zou kunnen zeggen eleganter is, is om de complexe logaritme van z simpelweg zo te defini\u00ebren dat \u03d5 de hoofdhoek van z is. Met dat begrip wordt de oorspronkelijke definitie dan <strong>welgedefinieerd<\/strong>: <\/p>\n<blockquote><p>ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/p><\/blockquote>\n<p>Bijvoorbeeld, onder deze nieuwe regel zouden we hebben dat ln\u20611=0 en ln\u2061i=ln\u2061(ei\u03c02)=i\u03c02. We zitten niet langer vast met het probleem van <strong>periodiciteit van hoeken<\/strong>! <\/p>\n<p>Maar met de beperking dat \u2212\u03c0&lt;\u03d5\u2264\u03c0, is het bereik van de complexe logaritme nu gereduceerd tot het rechthoekige gebied \u2212\u03c0&lt;y\u2264\u03c0 (d.w.z. de <strong>hoofdtak<\/strong>). En als we de inverse relatie tussen logaritme en exponentieel willen behouden, moeten we hetzelfde doen voor het domein van de exponenti\u00eble functie. <\/p>\n<p>Maar omdat de complexe logaritme nu welgedefinieerd is, kunnen we ook veel andere dingen erop baseren zonder in dubbelzinnigheid te belanden. Een voorbeeld daarvan zou de <strong>algemene complexe exponentieel<\/strong> (met een niet-nul basis a) zijn, die als volgt kan worden gedefinieerd: <\/p>\n<blockquote><p>az=eln\u2061(az)=dfezln\u2061a<\/p><\/blockquote>\n<div class=\"colorbox khaki\">\n<p class=\"colorbox-title\">Let op<\/p>\n<p>Hier gaan we er niet vanuit dat de  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Power_Rule\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>machtregelregel voor logaritmen<\/strong><\/a>  geldt (omdat  <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/logarithm-theory\/#Properties_of_Logarithm_%E2%80%94_An_Update\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">dat niet zo is<\/a>), maar dat de eerste en de laatste uitdrukking gelijk zijn.<\/p>\n<\/div>\n<p>Bijvoorbeeld, met behulp van de algemene complexe exponentieel zoals hierboven gedefinieerd, kunnen we nu een idee krijgen van wat ii eigenlijk betekent:ii=eiln\u2061i=ei\u03c02i=e\u2212\u03c02\u22480.208<\/p>\n<h3><span id=\"Alternate_Proofs_of_De_Moivres_Theorem_and_Trigonometric_Additive_Identities\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Alternatieve bewijzen van de stelling van De Moivre en trigonometrische optelformules<\/h3>\n<p>De stelling die bekend staat als <strong>de stelling van De Moivre<\/strong> stelt dat <\/p>\n<blockquote><p>(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/p><\/blockquote>\n<p>waarbij x een re\u00ebel getal is en n een geheel getal. Standaard kan dit worden aangetoond door <a href=\"https:\/\/mathvault.ca\/math-glossary\/#induction\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">inductie<\/a> (door het gebruik van enkele trigonometrische identiteiten), maar met behulp van de <strong>formule van Euler<\/strong> bestaat er nu een veel eenvoudiger bewijs. <\/p>\n<p>Om te beginnen, herinner je dat de <strong>vermenigvuldigingseigenschap voor exponenten<\/strong> stelt dat(ez)k=ezkHoewel deze eigenschap over het algemeen niet waar is voor complexe getallen, geldt het wel in het speciale geval waar k een <strong>geheel getal<\/strong> is. Het is niet moeilijk om in te zien dat in dit geval de wiskunde in wezen neerkomt op herhaalde toepassingen van de optellingseigenschap voor exponenten. <\/p>\n<p>En met dat geregeld, kunnen we de stelling van De Moivre gemakkelijk afleiden als volgt:(cos\u2061x+isin\u2061x)n=(eix)n=einx=cos\u2061nx+isin\u2061nxIn de praktijk wordt deze stelling vaak gebruikt om de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Nth_root#nth_roots\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>wortels<\/strong><\/a> van een complex getal te vinden, en om <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Closed-form_expression\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><strong>gesloten uitdrukkingen<\/strong><\/a> voor sin\u2061nx en cos\u2061nx te verkrijgen. Het doet dit door functies die tot hoge machten zijn verheven te reduceren tot eenvoudige trigonometrische functies &#8211; zodat berekeningen gemakkelijk kunnen worden uitgevoerd. <\/p>\n<p>De stelling van De Moivre is niet de enige stelling waarvan het bewijs kan worden vereenvoudigd als gevolg van de formule van Euler. Andere identiteiten, zoals de <strong>optelformules<\/strong> voor sin\u2061(x+y) en cos\u2061(x+y), profiteren ook van dat effect. <\/p>\n<p>We weten inderdaad al dat voor alle re\u00eble x en y:cos\u2061(x+y)+isin\u2061(x+y)=ei(x+y)=eix\u22c5eiy=(cos\u2061x+isin\u2061x)(cos\u2061y+isin\u2061y)=(cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y)+i(sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y)Eenmaal daar, levert het gelijkstellen van de <strong>re\u00eble<\/strong> en <strong>imaginaire delen<\/strong> aan beide kanten de beroemde identiteiten op die we zochten:<\/p>\n<blockquote><p>cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061ysin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/p><\/blockquote>\n<h2><span id=\"Conclusion\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Conclusie<\/h2>\n<p>Zoals hierboven te zien is, is <strong>de formule van Euler<\/strong> een zeldzaam juweeltje in het rijk van de wiskunde. Het legt de fundamentele relatie tussen exponenti\u00eble en trigonometrische functies vast, en baant de weg voor veel ontwikkelingen in de wereld van complexe getallen, complexe functies en gerelateerde theorie. <\/p>\n<p>Of het nu gaat om de identiteit van Euler of complexe logaritme, de formule van Euler lijkt geen steen onaangeroerd te laten wanneer uitdrukkingen zoals sin, i en e betrokken zijn. Het is een <strong>krachtig hulpmiddel<\/strong> waarvan de beheersing enorm lonend kan zijn, en om die reden is het een terechte kandidaat voor &#8220;<a href=\"https:\/\/www.feynmanlectures.caltech.edu\/I_22.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">de meest opmerkelijke formule in de wiskunde<\/a>&#8220;. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-table\">\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>Beschrijving<\/th>\n<th>Verklaring<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td><strong>Formule van Euler<\/strong><\/td>\n<td>eix=cos\u2061x+isin\u2061x<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Identiteit van Euler<\/strong><\/td>\n<td>ei\u03c0+1=0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Complex getal<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>z=rei\u03b8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Complexe exponentieel<\/strong><\/td>\n<td>ex+iy=ex(cos\u2061y+isin\u2061y)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Sinus<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>sin\u2061x=eix\u2212e\u2212ix2i<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Cosinus<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>cos\u2061x=eix+e\u2212ix2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Tangens<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>tan\u2061x=eix\u2212e\u2212ixi(eix+e\u2212ix)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Hyperbolische sinus<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>sinh\u2061z=sin\u2061izi<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Hyperbolische cosinus<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>cosh\u2061z=cos\u2061iz<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Hyperbolische tangens<\/strong> (exponenti\u00eble vorm)<\/td>\n<td>tanh\u2061z=tan\u2061izi<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Complexe logaritme<\/strong><\/td>\n<td>ln\u2061z=ln\u2061|z|+i\u03d5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Algemene complexe exponentiee<\/strong>l<\/td>\n<td>az=ezln\u2061a<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Stelling van De Moivre<\/strong><\/td>\n<td>(cos\u2061x+isin\u2061x)n=cos\u2061nx+isin\u2061nx<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Additieve identiteit van sinus<\/strong><\/td>\n<td>sin\u2061(x+y)=sin\u2061xcos\u2061y+cos\u2061xsin\u2061y<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Additieve identiteit van cosinus<\/strong><\/td>\n<td>cos\u2061(x+y)=cos\u2061xcos\u2061y\u2212sin\u2061xsin\u2061y<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<div class=\"wp-container-2 wp-block-group alignwide mediatext\">\n<div class=\"wp-block-group__inner-container\">\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile is-vertically-aligned-center\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-33344 size-full\" title=\"Voorpagina van de gids over de formule van Euler\" src=\"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\" alt=\"Voorpagina van De complete gids over de formule van Euler\" width=\"400\" height=\"518\"><\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><span id=\"Sources\" class=\"ez-toc-section\"><\/span>Bronnen<\/h2>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Mathematics-Physicists-Susan-Lea\/dp\/0534379974\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Wiskunde voor natuurkundigen (Susan M. Lea)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.amazon.com\/Cambridge-Handbook-Physics-Formulas\/dp\/0521575079\/?tag=mathvault02-20\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Het Cambridge handboek van natuurkunde formules (Graham Woan)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In de wereld van complexe getallen, als we trigonometrische uitdrukkingen integreren, komen we waarschijnlijk de zogenaamde formule van Euler tegen. Vernoemd naar de legendarische wiskundige Leonhard Euler, verdient deze krachtige vergelijking een nadere beschouwing \u2014 zodat we &#8216;m optimaal kunnen gebruiken. We gaan kijken hoe de formule van Euler ons in staat stelt om complexe [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-60550","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In de wereld van complexe getallen, als we trigonometrische uitdrukkingen integreren, komen we waarschijnlijk de zogenaamde formule van Euler tegen. Vernoemd naar de legendarische wiskundige Leonhard Euler, verdient deze krachtige vergelijking een nadere beschouwing \u2014 zodat we &#8216;m optimaal kunnen gebruiken. We gaan kijken hoe de formule van Euler ons in staat stelt om complexe [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"21 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/\",\"name\":\"Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/mathvault.ca\\\/wp-content\\\/uploads\\\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\",\"datePublished\":\"2023-01-06T04:16:48+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/mathvault.ca\\\/wp-content\\\/uploads\\\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/mathvault.ca\\\/wp-content\\\/uploads\\\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/over-de-formule-van-euler\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Over de formule van Euler\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/\",\"name\":\"EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute\",\"description\":\"Academic and Research Excellence inspired by the Legacy of L. Euler and the University of Franeker\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/euler.euclid.int\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute","og_description":"In de wereld van complexe getallen, als we trigonometrische uitdrukkingen integreren, komen we waarschijnlijk de zogenaamde formule van Euler tegen. Vernoemd naar de legendarische wiskundige Leonhard Euler, verdient deze krachtige vergelijking een nadere beschouwing \u2014 zodat we &#8216;m optimaal kunnen gebruiken. We gaan kijken hoe de formule van Euler ons in staat stelt om complexe [&hellip;]","og_url":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/","og_site_name":"EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"21 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/","url":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/","name":"Over de formule van Euler - EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute","isPartOf":{"@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583","datePublished":"2023-01-06T04:16:48+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/#primaryimage","url":"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583","contentUrl":"https:\/\/mathvault.ca\/wp-content\/uploads\/Eulers-Formula-Guide-Ebook-Cover.png?x30583"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/over-de-formule-van-euler\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/euler.euclid.int\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Over de formule van Euler"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/euler.euclid.int\/#website","url":"https:\/\/euler.euclid.int\/","name":"EFMU: The Euler-Franeker Memorial University and Institute","description":"Academic and Research Excellence inspired by the Legacy of L. Euler and the University of Franeker","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/euler.euclid.int\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/60550","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=60550"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/60550\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/euler.euclid.int\/nl\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=60550"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}