UNA UNIVERSIDAD ACREDITADA Y UN INSTITUTO INTERGUBERNAMENTAL PERTENECIENTE A EUCLID
APLICAR

Acerca de la identidad de Euler

La identidad de Euler es frecuentemente aclamada como la fórmula más bella de las matemáticas. Las personas la portan en camisetas y se la tatúan en el cuerpo. ¿Por qué?

La identidad se expresa como

[ e^{ipi }+1=0, ]
Leonhard Euler, 1707-1783. Retrato de Johann Georg Brucker.Leonhard Euler, 1707-1783. Retrato de Johann Georg Brucker.

donde $e= 2.7182818284... $ es la base del logaritmo natural, $pi =3.1415926535...$ es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, y $i =sqrt<wpml_curved wpml_value='-1'></wpml_curved>$. Estas tres constantes son extremadamente importantes en matemáticas, y dado que la identidad también involucra $0$ y $1$, tenemos una fórmula que conecta cinco de los números más importantes en matemáticas utilizando cuatro de las operaciones y relaciones matemáticas más importantes: adición, multiplicación, exponenciación e igualdad. He aquí el motivo por el cual los matemáticos aprecian tanto la identidad de Euler.

Pero, ¿de dónde proviene y qué significa? Como mencionamos anteriormente, $i =sqrt<wpml_curved wpml_value='-1'></wpml_curved>$. Esto puede parecer sorprendente porque los números negativos no deberían tener raíces cuadradas. Sin embargo, si simplemente decretamos que $-1$ sí tiene una raíz cuadrada y la denominamos $i$, entonces podemos construir una clase completamente nueva de números, llamados números complejos. Los números complejos tienen la forma $x+iy,$ donde $x$ y $y$ son números reales ordinarios (para el número complejo $i$ tenemos $x=0$ y $y=1$). Véase aquí para una breve introducción a los números complejos y cómo calcular con ellos. Nótese que un número real también puede ser considerado como un número complejo. El número $-1$, por ejemplo, es un número complejo con $x=-1$ y $y=0$.

Así como un número real está representado por un punto en una recta numérica, un número complejo $z$ está representado por un punto en el plano. Al número complejo $z=x+iy$ le asociamos el punto con coordenadas $(x,y)$.

Coordenadas cartesianas 

En esta descripción utilizamos coordenadas cartesianas: estas describen la ubicación de un punto indicándonos cuánto avanzar en la dirección horizontal y cuánto en la dirección vertical. Sin embargo, en ocasiones resulta más conveniente describir la ubicación de un punto en términos del vector que parte del punto de intersección de los dos ejes, como se muestra a continuación.

Coordenadas polares 

Para definir ese vector se necesita su longitud $r$ y el ángulo $ heta $ que forma con el eje $x$ positivo (medido en sentido antihorario). Estas son las coordenadas polares de nuestro punto. La trigonometría básica (véase el diagrama a continuación) nos indica que si un punto tiene coordenadas cartesianas $(x,y)$ y coordenadas polares $(r, heta )$, entonces

[ x=r cos {( heta )} ]

y

[ y=r sin {( heta )}. ]
trigonometría 

Por lo tanto, el número complejo $z$ representado por nuestro punto, $x+iy$, también puede escribirse como

[ z= r (cos {( heta )}+isin {( heta )}). ]

Aquí viene el punto crucial. Resulta que para números reales $r$ y $ heta $

[ r(cos {( heta )} + i sin {( heta )}) = re^{i heta }. ]

Esto puede demostrarse utilizando series de potencias, véase aquí para obtener más información. Es un hecho hermoso que la función exponencial y las dos funciones trigonométricas seno y coseno estén vinculadas de esta manera. Y significa que cualquier número complejo $z$ puede escribirse como $re^{i heta }$ donde $r$ es la longitud de la línea que conecta el punto en el plano asociado a $z$ al punto de intersección de los ejes, y $\theta $ es el ángulo que forma dicha línea con el eje $x$ positivo (medido en sentido antihorario).

Esto ahora hace que la identidad de Euler sea cristalina. El número complejo $e^{i\pi } = 1 \times e^{i\pi }$ representa el punto en el plano a una distancia $1$ del punto de intersección de los ejes con un ángulo asociado de $\pi $. Ese es el punto con coordenadas cartesianas $(-1,0)$ que representa el número complejo $-1$.

Identidad de Euler 

Reuniendo todos estos elementos, observamos que

\[ e^{i\pi } = -1, \]

lo cual significa que

\[ e^{i\pi }+1 = 0. \]

Y esa es la identidad de Euler.

EULER is a EUCLID institute established under Section X.6 of the EUCLID Statutes (as registered and published by the United Nations Treaty Series)

news @ euler

research @ euler

Contact Admissions

La oficina y los funcionarios correspondientes responderán en un plazo de 2 días hábiles. Si se comunica con una oficina de EUCLID, asegúrese de llamar a la ubicación correcta según su perfil.

Apply at EULER/EUCLID

El proceso de revisión de la solicitud toma de 4 a 6 días hábiles después de la recepción de los documentos.

EULER | El Instituto Universitario Conmemorativo Euler-Franeker (en EUCLID) & La Universidad Conmemorativa Euler-Franeker

Un instituto afiliado a EUCLID y socio académico con oficinas de enlace y representación internacionales en:
La Haya, Washington DC, Willemstad

EUCLID (Pôle Universitaire Euclide | Euclid University)
Una organización basada en tratados con oficinas internacionales de enlace y representación en:
Nueva York, Washington DC, Montpellier (Francia). Sede central: Bangui, República Centroafricana | Sede de la Commonwealth y la CEDEAO: Banjul, Gambia

Twitter Facebook-f Linkedin Youtube Vimeo Link

Studying with EULER

Nuestra Revista Académica

Quick Access

Protección Legal Suiza

About EUCLID

La Carta de EUCLID en UNTS

EUCLID | WWW.EUCLID.INT: LA UNIVERSIDAD GLOBAL, INTERDISCIPLINARIA, BASADA EN TRATADOS