Over Euler’s identiteit

Euler’s identiteit wordt vaak gezien als de mooiste formule in de wiskunde. Mensen dragen het op T-shirts en laten het zelfs tatoeëren. Waarom?

De identiteit luidt

Leonhard Euler, 1707-1783. Portret door Johann Georg Brucker.

waarbij het grondgetal van de natuurlijke logaritme is, de verhouding tussen de omtrek en diameter van een cirkel, en . Deze drie constanten zijn extreem belangrijk in de wiskunde – en omdat de identiteit ook en bevat, hebben we een formule die vijf van de belangrijkste getallen in de wiskunde verbindt met vier van de belangrijkste wiskundige bewerkingen en relaties – optelling, vermenigvuldiging, machtsverheffen en gelijkheid. Daarom zijn wiskundigen zo gek op Euler’s identiteit.

Maar waar komt het vandaan en wat betekent het? Zoals we hierboven al zeiden, . Dit kan schokkend lijken omdat negatieve getallen geen wortels horen te hebben. Maar als we simpelweg besluiten dat wel een wortel heeft en het noemen, dan kunnen we een hele nieuwe klasse getallen bouwen, genaamd de complexe getallen. Complexe getallen hebben de vorm waarbij en gewone reële getallen zijn (voor het complexe getal hebben we en ). Kijk hier voor een snelle intro over complexe getallen en hoe je ermee rekent. Let op dat een reëel getal ook gezien kan worden als een complex getal. Het getal is bijvoorbeeld een complex getal met en .

Net zoals een reëel getal wordt weergegeven door een punt op een getallenlijn, wordt een complex getal weergegeven door een punt in het vlak. Bij het complexe getal hoort het punt met coördinaten .

 

In deze beschrijving gebruikten we Cartesische coördinaten: ze beschrijven de locatie van een punt door te vertellen hoe ver je horizontaal en verticaal moet lopen. Soms is het echter handiger om de locatie van een punt te beschrijven in termen van de pijl die begint bij het snijpunt van de twee assen, zoals hieronder getoond.

 

Om die pijl te definiëren heb je de lengte nodig en de hoek die hij maakt met de positieve -as (tegen de klok in gemeten). Dit zijn de poolcoördinaten van ons punt. Basis trigonometrie (zie het diagram hieronder) vertelt ons dat als een punt Cartesische coördinaten heeft en poolcoördinaten , dan geldt

en

 

Daarom kan het complexe getal dat door ons punt wordt weergegeven, , ook geschreven worden als

Hier komt het cruciale punt. Het blijkt dat voor reële getallen en

Je kunt dit bewijzen met machtreeksen, kijk hier voor meer info. Het is een prachtig feit dat de exponentiële functie en de twee trigonometrische functies sinus en cosinus op deze manier verbonden zijn. En het betekent dat elk complex getal geschreven kan worden als waarbij de lengte is van de lijn die het punt in het vlak verbindt dat geassocieerd is met naar het snijpunt van de assen, en is de hoek die de lijn maakt met de positieve -as (tegen de klok in gemeten).

Dit maakt de identiteit van Euler nu glashelder. Het complexe getal stelt het punt op het vlak voor op afstand van het snijpunt van de assen met een bijbehorende hoek van . Dat is het punt met Cartesiaanse coördinaten dat het complexe getal voorstelt.

 

Als we dit allemaal bij elkaar optellen, zien we dat

wat betekent dat

En dat is de identiteit van Euler.