À propos de l’identité d’Euler

L’identité d’Euler est souvent considérée comme la formule la plus belle en mathématiques. Des individus la portent sur des T-shirts et se la font tatouer. Pourquoi donc ?

L’identité s’énonce comme suit

Leonhard Euler, 1707-1783. Portrait par Johann Georg Brucker.

où est la base du logarithme naturel, est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, et . Ces trois constantes sont d’une importance capitale en mathématiques — et puisque l’identité implique également et , nous obtenons une formule qui relie cinq des nombres les plus importants en mathématiques en utilisant quatre des opérations et relations mathématiques les plus fondamentales – l’addition, la multiplication, l’exponentiation et l’égalité. C’est pour cette raison que les mathématiciens affectionnent tant l’identité d’Euler.

Mais d’où provient-elle et que signifie-t-elle ? Comme mentionné précédemment, . Cela peut sembler surprenant car les nombres négatifs ne sont pas censés avoir de racines carrées. Cependant, si nous décrétons simplement que possède effectivement une racine carrée et que nous la nommons , nous pouvons alors construire une toute nouvelle classe de nombres, appelée les nombres complexes. Les nombres complexes ont la forme où et sont des nombres réels ordinaires (pour le nombre complexe nous avons et ). Veuillez consulter ici pour une introduction rapide aux nombres complexes et à leur calcul. Notez qu’un nombre réel peut également être considéré comme un nombre complexe. Le nombre , par exemple, est un nombre complexe avec et .

De la même manière qu’un nombre réel est représenté par un point sur une droite numérique, un nombre complexe est représenté par un point dans le plan. Au nombre complexe , nous associons le point de coordonnées .

 

Dans cette description, nous avons utilisé les coordonnées cartésiennes : elles décrivent la position d’un point en indiquant la distance à parcourir dans la direction horizontale et la distance à parcourir dans la direction verticale. Cependant, il est parfois plus commode de décrire la position d’un point en termes de vecteur partant du point d’intersection des deux axes, comme illustré ci-dessous.

 

Pour définir ce vecteur, il est nécessaire de connaître sa longueur et l’angle qu’il forme avec l’axe positif (mesuré dans le sens antihoraire). Ce sont les coordonnées polaires de notre point. La trigonométrie élémentaire (voir le diagramme ci-dessous) nous indique que si un point a pour coordonnées cartésiennes et pour coordonnées polaires , alors

et

 

Par conséquent, le nombre complexe représenté par notre point, , peut également s’écrire

Voici le point crucial. Il se trouve que pour les nombres réels et

Vous pouvez démontrer cela en utilisant les séries entières, consultez ici pour en savoir plus. C’est un fait remarquable que la fonction exponentielle et les deux fonctions trigonométriques sinus et cosinus soient liées de cette manière. Cela signifie que tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme où est la longueur de la ligne reliant le point du plan associé à au point d’intersection des axes, et est l’angle que forme cette ligne avec l’axe positif (mesuré dans le sens antihoraire).

Ceci rend désormais l’identité d’Euler parfaitement limpide. Le nombre complexe représente le point sur le plan à une distance du point d’intersection des axes avec un angle associé de . Il s’agit du point aux coordonnées cartésiennes qui représente le nombre complexe .

 

En réunissant tous ces éléments, nous constatons que

ce qui signifie que

Et voilà l’identité d’Euler.